Probleme tip BAC cu progresii

Tiparul 1: găsirea rației din doi termeni

Progresie aritmetică cu $a_3 = 7$ și $a_7 = 19$. Din $a_7 = a_3 + 4r$: $19 = 7 + 4r \Rightarrow r = 3$, apoi $a_1 = a_3 - 2r = 1$.

Regula generală: $a_m = a_n + (m - n) r$.

Tiparul 2: verificarea că trei numere sunt în progresie

1. aritmetică: termenul din mijloc e media aritmetică: $b = \dfrac{a + c}{2}$;
2. geometrică: termenul din mijloc la pătrat: $b^2 = a \cdot c$ (termeni pozitivi).

Exemplu. Determină $x$ dacă $x - 1, \; x + 1, \; 2x + 2$ sunt în progresie geometrică:

$(x+1)^2 = (x-1)(2x+2) = 2(x-1)(x+1)$

Pentru $x \ne -1$: $x + 1 = 2x - 2 \Rightarrow x = 3$. Verificare: $2, 4, 8$ cu rația 2 ✓.

Tiparul 3: sume

Suma aritmetică: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) n}{2}$; suma geometrică: $S_n = b_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.

Exemplu. Suma primelor 20 de numere impare: $1 + 3 + \ldots + 39 = \dfrac{(1 + 39) \cdot 20}{2} = 400$. (Frumos: suma primelor $n$ impare e mereu $n^2$.)

Exemplu geometric. $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^9 = \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023$.

Tiparul 4: câți termeni are suma

$2 + 5 + 8 + \ldots + x = 155$, progresie cu $a_1 = 2, r = 3$. Din $S_n = \dfrac{(2 + a_n) n}{2} = 155$ și $a_n = 3n - 1$: $\dfrac{(3n + 1) n}{2} = 155 \Rightarrow 3n^2 + n - 310 = 0 \Rightarrow n = 10$ (rădăcina pozitivă). Deci $x = a_{10} = 29$. Verificare: $\dfrac{(2 + 29) \cdot 10}{2} = 155$ ✓.

Greșeli frecvente

1. $a_n = a_1 + (n-1)r$: cu $n - 1$, nu $n$.
2. La progresia geometrică suma cere $q \ne 1$.
3. Numărul de termeni $n$ trebuie să iasă natural: dacă iese fracționar, ai greșit calculul.