Progresii aritmetice

Definiție

Un șir $(a_n)_{n\ge1}$ este progresie aritmetică dacă fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul prin adunarea aceluiași număr $r$, numit rație:

$a_{n+1} = a_n + r \quad \text{pentru orice } n \ge 1.$

Exemplu: $3, 7, 11, 15, \dots$ este progresie aritmetică cu $a_1 = 3$ și $r = 4$.

Formulele de bază

Termenul general: $a_n = a_1 + (n-1)r$

Suma primilor $n$ termeni: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Proprietatea mediei aritmetice: trei numere $a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă $b = \dfrac{a + c}{2}.$

Exemple rezolvate

1. În progresia aritmetică cu $a_1 = 3$ și $r = 4$, calculează $a_{10}$ și $S_{10}$.

$a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39$, iar $S_{10} = \dfrac{(3 + 39) \cdot 10}{2} = 210$.

2. Într-o progresie aritmetică, $a_3 = 11$ și $a_7 = 23$. Află $a_{20}$.

Din $a_7 - a_3 = 4r$ obținem $4r = 12$, deci $r = 3$. Apoi $a_1 = a_3 - 2r = 11 - 6 = 5$ și $a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$.

3. Determină $x \in \mathbb{R}$ pentru care numerele $x - 1$, $x + 3$, $3x - 1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Aplicăm media aritmetică: $x + 3 = \dfrac{(x-1) + (3x-1)}{2}$. Deci $2x + 6 = 4x - 2$, adică $x = 4$. Verificare: numerele devin $3, 7, 11$, cu rația $4$.

Greșeli frecvente

1. În formula termenului general apare $(n-1)r$, nu $nr$. Pentru $a_{10}$ rația se adună de 9 ori, nu de 10.
2. Suma folosește numărul de termeni adunați, nu rangul din enunț: dacă aduni de la $a_1$ la $a_{10}$, ai 10 termeni.
3. La probleme cu trei numere necunoscute, condiția de progresie aritmetică este exact media aritmetică; nu inventa alte ecuații.