Șiruri monotone

Definiții

Șirul $(a_n)_{n\ge1}$ este:

1. crescător dacă $a_{n+1} \ge a_n$ pentru orice $n$; strict crescător dacă $a_{n+1} > a_n$;
2. descrescător dacă $a_{n+1} \le a_n$; strict descrescător dacă $a_{n+1} < a_n$.

Un șir care este crescător sau descrescător se numește monoton.

Metoda 1: semnul diferenței

Calculăm $a_{n+1} - a_n$ și stabilim semnul.

1. Dacă $a_{n+1} - a_n > 0$ pentru orice $n$, șirul este strict crescător.
2. Dacă $a_{n+1} - a_n < 0$ pentru orice $n$, șirul este strict descrescător.

Exemplu rezolvat. Studiază monotonia șirului $a_n = \dfrac{2n+1}{n+1}$.

$a_{n+1} - a_n = \dfrac{2n+3}{n+2} - \dfrac{2n+1}{n+1} = \dfrac{(2n+3)(n+1) - (2n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}.$

Numărătorul: $(2n^2 + 5n + 3) - (2n^2 + 5n + 2) = 1 > 0$.

Numitorul este pozitiv, deci $a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$: șirul este strict crescător.

Metoda 2: raportul (pentru șiruri cu termeni pozitivi)

Dacă $a_n > 0$, comparăm $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ cu $1$:

1. raport mai mare ca $1$ pentru orice $n$: șir strict crescător;
2. raport mai mic ca $1$: șir strict descrescător.

Exemplu. $a_n = \dfrac{2^n}{n!}$. Avem $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{2^n} = \dfrac{2}{n+1}$.

Pentru $n \ge 2$ raportul este cel mult $\dfrac{2}{3} < 1$, deci de la rangul 2 șirul descrește strict.

Greșeli frecvente

1. Metoda raportului cere termeni strict pozitivi. Pe un șir cu semne alternante raportul te minte.
2. Semnul diferenței trebuie stabilit pentru orice $n$, nu doar pentru primele valori. Adu totul la o singură fracție și judecă semnul general.
3. Un șir poate fi monoton doar de la un rang încolo, ca în exemplul cu $\dfrac{2^n}{n!}$: precizează rangul de la care are loc monotonia.