Progresii geometrice

Definiție

Un șir $(b_n)_{n\ge1}$ cu termeni nenuli este progresie geometrică dacă fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu același număr nenul $q$, numit rație:

$b_{n+1} = b_n \cdot q \quad \text{pentru orice } n \ge 1.$

Exemplu: $2, 6, 18, 54, \dots$ este progresie geometrică cu $b_1 = 2$ și $q = 3$.

Formulele de bază

Termenul general: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Suma primilor $n$ termeni (pentru $q \ne 1$): $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$

Proprietatea mediei geometrice: trei numere nenule $a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă $b^2 = a \cdot c.$

Exemple rezolvate

1. Pentru progresia geometrică cu $b_1 = 2$ și $q = 3$, calculează $b_5$ și $S_5$.

$b_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$, iar $S_5 = 2 \cdot \dfrac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{242}{2} = 242$.

2. Într-o progresie geometrică, $b_2 = 6$ și $b_4 = 24$. Află $b_1$ și rația, știind că termenii sunt pozitivi.

$\dfrac{b_4}{b_2} = q^2 = 4$, deci $q = 2$ (termenii fiind pozitivi). Atunci $b_1 = \dfrac{b_2}{q} = 3$.

3. Determină $x > 0$ pentru care numerele $x$, $x + 6$, $9x$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Media geometrică: $(x+6)^2 = x \cdot 9x = 9x^2$. Deci $x + 6 = 3x$ (ambele părți pozitive), adică $x = 3$. Numerele devin $3, 9, 27$, cu rația $3$.

Greșeli frecvente

1. Nu uita cazul $q = 1$: suma devine pur și simplu $S_n = n \cdot b_1$, formula cu fracție nu se aplică.
2. Din $q^2 = 4$ rezultă $q = 2$ sau $q = -2$: alege semnul folosind condițiile din enunț și scrie explicit de ce.
3. La media geometrică, $b^2 = ac$ permite și $b$ negativ; dacă enunțul cere termeni pozitivi, justifică alegerea rădăcinii pozitive.