Șiruri mărginite

Definiții

Șirul $(a_n)_{n\ge1}$ este:

1. mărginit superior dacă există un număr real $M$ astfel încât $a_n \le M$ pentru orice $n \ge 1$;
2. mărginit inferior dacă există $m \in \mathbb{R}$ astfel încât $a_n \ge m$ pentru orice $n \ge 1$;
3. mărginit dacă este mărginit și inferior și superior, adică există $m, M$ cu $m \le a_n \le M$ pentru orice $n$.

Echivalent, $(a_n)$ este mărginit dacă există $K > 0$ cu $|a_n| \le K$ pentru orice $n$.

Exemple

1. $a_n = \dfrac{1}{n}$: avem $0 < a_n \le 1$, deci șirul este mărginit.
2. $a_n = n^2$: este mărginit inferior de $1$, dar nu este mărginit superior, pentru că depășește orice număr $M$ am alege.
3. $a_n = (-1)^n$: ia doar valorile $-1$ și $1$, deci este mărginit: $|a_n| \le 1$.

Metoda de lucru la BAC

Ca să arăți că un șir dat printr-o fracție este mărginit, prelucrează termenul general până separi o parte constantă și o parte care se micșorează.

Exemplu rezolvat. Arată că șirul $a_n = \dfrac{2n+1}{n+1}$ este mărginit.

Scriem $a_n = \dfrac{2(n+1) - 1}{n+1} = 2 - \dfrac{1}{n+1}$.

Cum $0 < \dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{2}$ pentru $n \ge 1$, rezultă:

$\dfrac{3}{2} \le a_n < 2 \quad \text{pentru orice } n \ge 1.$

Deci șirul este mărginit: toți termenii stau între $\dfrac{3}{2}$ și $2$.

Greșeli frecvente

1. Nu e suficient să calculezi câțiva termeni și să observi că "par mici": mărginirea se demonstrează pentru TOȚI termenii, printr-o inegalitate generală.
2. Marginea nu trebuie să fie atinsă: în exemplul de mai sus niciun termen nu este egal cu $2$, dar $2$ este în continuare o margine superioară perfect validă.
3. Un șir nemărginit nu înseamnă "fără margine inferioară și superioară" simultan: $a_n = n^2$ are margine inferioară, dar tot nemărginit se numește, pentru că îi lipsește cea superioară.