Noțiunea de șir. Termenul general

Ce este un șir

Un șir de numere reale este o funcție $f:\mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$, care asociază fiecărui număr natural nenul $n$ un număr real $a_n$. În loc de $f(n)$ scriem $a_n$ și numim acest număr termenul de rang $n$ al șirului. Șirul întreg îl notăm $(a_n)_{n \ge 1}$.

Intuitiv: un șir este o listă infinită și ordonată de numere, în care fiecare poziție știe exact ce număr conține.

$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$

Cum definim un șir

1. Prin formula termenului general. Primim o expresie care depinde de $n$ și putem calcula direct orice termen.

Exemplu: $a_n = 3n - 1$. Atunci $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 8$, iar $a_{100} = 299$, fără să calculăm termenii dintre ei.

2. Prin recurență. Primim primul termen (sau primii doi) și o regulă care leagă fiecare termen de cei dinaintea lui.

Exemplu: $a_1 = 1$ și $a_{n+1} = 2a_n + 1$. Calculăm pe rând: $a_2 = 3$, $a_3 = 7$, $a_4 = 15$. Aici, ca să afli $a_{10}$, ai nevoie de toți termenii de dinainte.

Exemplu rezolvat

Fie șirul $a_n = \dfrac{n+2}{n}$. Calculează primii trei termeni și verifică dacă $\dfrac{21}{19}$ este termen al șirului.

Rezolvare. $a_1 = 3$, $a_2 = 2$, $a_3 = \dfrac{5}{3}$.

Căutăm $n$ cu $\dfrac{n+2}{n} = \dfrac{21}{19}$. Înmulțim în cruce: $19(n+2) = 21n$, deci $19n + 38 = 21n$, adică $2n = 38$, deci $n = 19$. Da, $\dfrac{21}{19}$ este exact termenul $a_{19}$.

Greșeli frecvente

1. Confuzia între $a_n$ (un termen) și $(a_n)$ (întregul șir). La BAC, cerința spune de obicei "arătați că șirul..." și se referă la toată lista, nu la un singur termen.
2. La șirurile prin recurență, nu poți "sări" direct la rangul cerut: calculezi termenii în ordine sau demonstrezi întâi o formulă pentru termenul general.
3. Verifică mereu de la ce rang pornește șirul: unele încep de la $n = 0$, altele de la $n = 1$. Formula $a_n$ se aplică doar pentru rangurile permise.