Instrumente interactive
23 de instrumente la matematică, așezate pe capitolele programei. Le poți folosi fără cont.
Capitolul 1: Șiruri și progresii
- Laboratorul de șiruri6 șiruri clasice plotate ca puncte: mărginirea cu benzi vizuale, monotonia și limita, cu oricâți termeni vrei.Deschide
- Laboratorul de progresiiAritmetică sau geometrică: alege primul termen și rația, vezi barele crescând liniar sau exploziv, cu termenul general și suma calculate.Deschide
Capitolul 2: Funcții, partea I
- Grafic de funcțiiDesenează una sau mai multe funcții, mută planul și apropie ca să vezi comportamentul lor. Perfect pentru monotonie, semn și intersecții.Deschide
- Compunerea funcțiilorAlege f și g, urmărește lanțul x → f(x) → g(f(x)) pas cu pas și inversează ordinea ca să vezi de ce compunerea nu este comutativă.Deschide
Capitolul 4: Trigonometrie
- Cercul trigonometricTrage punctul pe cerc și vezi în timp real sin, cos, tg și ctg, cu valorile exacte pentru unghiurile remarcabile.Deschide
Capitolul 5: Geometrie vectorială
Capitolul 6: Geometrie analitică
- Reperul cartezianDouă puncte mobile: distanța (Pitagora la vedere), mijlocul segmentului și panta dreptei, recalculate live.Deschide
Capitolul 7: Numere complexe
- Planul complexMută numărul z = a + bi în plan: modulul, argumentul și conjugatul se recalculează live, cu z·z̄ = |z|² demonstrat.Deschide
Capitolul 8: Matrici și determinanți
- Laboratorul de matriciEditează două matrici 2×2: adunare, înmulțire (cu dovada că nu e comutativă!) și determinant cu regula diagonalelor.Deschide
Capitolul 10: Legi de compoziție și structuri algebrice
- Tabla lui ℤnTabla adunării și înmulțirii în ℤ4, ℤ5, ℤ6: apasă pe celule, găsește neutrul și simetricul și vezi de ce ℤ5* e grup iar ℤ6* nu.Deschide
Capitolul 14: Integrale și aplicații
- Integrala ca arieSuma Riemann animată: crește numărul de dreptunghiuri și vezi cum aproximarea se lipește de aria exactă de sub grafic.Deschide
Capitolul 15: Combinatorică și probabilități
- Permutări, aranjamente, combinărin și k pe slidere: P, A, C calculate cu formulele la vedere, plus triunghiul lui Pascal cu C(n,k) evidențiat.Deschide
Capitolul 16: Statistică, probabilități și calcul financiar
- Laborator de statisticăScrie-ți propriile date și vezi media, mediana, modul, dispersia și histograma lor.Deschide
- Laborator de probabilitățiExtrageri din urnă și evenimente la zar, cu formula reuniunii verificată pe cazuri concrete.Deschide
- Calculator financiarCompară dobânda simplă cu cea compusă, calculează TVA-ul corect și vezi de ce procentele nu se adună.Deschide
Capitolul 17: Inducție matematică și aplicații ale integralei
Capitolul 19: Conice și cercurile triunghiului
Capitolul 20: Studiul funcțiilor cu derivata a doua
- Convexitate și puncte de inflexiuneVezi simultan funcția, derivata întâi și derivata a doua, și de ce anularea lui f″ nu ajunge.Deschide
Alte instrumente
- Laboratorul triunghiuluiAlege cele trei laturi: vezi triunghiul desenat, unghiurile, aria (Heron), razele cercurilor înscris și circumscris, plus clasificarea completă.Deschide
- Laboratorul de divizibilitateAlege două numere: vezi descompunerea în factori primi, divizorii comuni colorați și cum se calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.Deschide
Toate cele 23 de instrumente, pe rând
Laboratorul de șiruri
6 șiruri clasice plotate ca puncte: mărginirea cu benzi vizuale, monotonia și limita, cu oricâți termeni vrei.
Laboratorul de progresii
Aritmetică sau geometrică: alege primul termen și rația, vezi barele crescând liniar sau exploziv, cu termenul general și suma calculate.
Grafic de funcții
Desenează una sau mai multe funcții, mută planul și apropie ca să vezi comportamentul lor. Perfect pentru monotonie, semn și intersecții.
Compunerea funcțiilor
Alege f și g, urmărește lanțul x → f(x) → g(f(x)) pas cu pas și inversează ordinea ca să vezi de ce compunerea nu este comutativă.
Cercul trigonometric
Trage punctul pe cerc și vezi în timp real sin, cos, tg și ctg, cu valorile exacte pentru unghiurile remarcabile.
Direcție și sens
Patru situații cu semidrepte: vezi când două semidrepte au același sens și când au sensuri opuse.
Laboratorul de vectori
Doi vectori cu componente reglabile: suma cu regula paralelogramului, produsul scalar, unghiul, testele de perpendicularitate și coliniaritate.
Reperul cartezian
Două puncte mobile: distanța (Pitagora la vedere), mijlocul segmentului și panta dreptei, recalculate live.
Planul complex
Mută numărul z = a + bi în plan: modulul, argumentul și conjugatul se recalculează live, cu z·z̄ = |z|² demonstrat.
Laboratorul de matrici
Editează două matrici 2×2: adunare, înmulțire (cu dovada că nu e comutativă!) și determinant cu regula diagonalelor.
Tabla lui ℤn
Tabla adunării și înmulțirii în ℤ4, ℤ5, ℤ6: apasă pe celule, găsește neutrul și simetricul și vezi de ce ℤ5* e grup iar ℤ6* nu.
Integrala ca arie
Suma Riemann animată: crește numărul de dreptunghiuri și vezi cum aproximarea se lipește de aria exactă de sub grafic.
Permutări, aranjamente, combinări
n și k pe slidere: P, A, C calculate cu formulele la vedere, plus triunghiul lui Pascal cu C(n,k) evidențiat.
Laborator de statistică
Scrie-ți propriile date și vezi media, mediana, modul, dispersia și histograma lor.
Separă prin spațiu sau punct și virgulă. Pentru zecimale poți folosi virgula: 7,5
- Media
- 6,90suma împărțită la câte sunt
- Mediana
- 7valoarea din mijloc, după ordonare
- Modul
- 7valoarea cea mai frecventă
- Dispersia
- 2,89media pătratelor abaterilor
- Abaterea standard
- 1,70rădăcina dispersiei
- Amplitudinea
- 6maxim minus minim
Histograma frecvențelor (10 valori)
Citire: în medie, valorile se abat cu 1,70 de la media 6,90. Cu cât abaterea standard e mai mică, cu atât datele sunt mai strânse în jurul mediei.
Laborator de probabilități
Extrageri din urnă și evenimente la zar, cu formula reuniunii verificată pe cazuri concrete.
- Toate albe
- 35,7%
C(5, 2) / C(8, 2)
- Cel puțin una albă
- 89,3%
1 − C(3, 2) / C(8, 2)
- Niciuna albă
- 10,7%
C(3, 2) / C(8, 2)
Observă: „cel puțin una albă” plus „niciuna albă” dau întotdeauna 100%. De aceea, când problema cere „cel puțin unul”, calculezi evenimentul contrar și scazi din 1. E aproape mereu calea mai scurtă.
Calculator financiar
Compară dobânda simplă cu cea compusă, calculează TVA-ul corect și vezi de ce procentele nu se adună.
- Dobândă simplă
- 1500,00 lei
- Dobândă compusă
- 1628,89 lei
- Diferența
- 128,89 lei
La un singur an cele două sunt egale. Diferența apare din anul al doilea, pentru că dobânda compusă începe să producă dobândă la dobândă. Curba compusă e o progresie geometrică, cea simplă e o dreaptă.
Inducția matematică
Compară suma calculată termen cu termen și valoarea din formulă, și vezi trecerea de la k la k+1.
1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
- Termen cu termen
- 151 + 2 + 3 + 4 + 5
- Din formulă
- 15n(n+1)/2 pentru n = 5
Cele două coincid.
Pasul 1: verificarea
Pentru n = 1: membrul stâng dă 1, membrul drept dă 1. Adevărat.
Pasul 2: pasul inductiv
Adaugi (k+1) la ipoteză: k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2
aici: 10 + 5 = 15 corect
Bara evidențiată e termenul nou adăugat la trecerea de la k la k+1. Verificarea pe cât de multe valori vrei nu e o demonstrație: oricâte ai verifica, rămân infinit de multe neverificate. Demonstrația e chiar pasul 2, care arată că adevărul se transmite de la un număr la următorul.
Arii și corpuri de rotație
Alege o funcție și un interval, vezi aria subgraficului și corpul obținut prin rotirea ei în jurul axei Ox.
- Aria subgraficului
- 2,667A = ∫ f(x) dx
- Volumul corpului de rotație
- 20,106V = π ∫ f²(x) dx
Compară cele două numere. Volumul nu e aria înmulțită cu ceva simplu: funcția intră la pătrat, deci zonele unde graficul e înalt cântăresc mult mai mult. Pentru f(x) = x pe intervalul de la 0 la 3 volumul iese 9π, exact volumul conului cu raza 3 și înălțimea 3.
Conicele
Cerc, elipsă, hiperbolă și parabolă, cu focarele, asimptotele și relațiile dintre semiaxe.
- Ecuația
- x²/a² + y²/b² = 1suma distanțelor la cele două focare e constantă
- Excentricitatea
- e = 0,80
- Relații
- c² = a² − b² → c = 4,00; suma distanțelor la focare = 2a = 10,0
Fă elipsa să aibă a egal cu b și vei vedea că devine cerc, iar focarele se suprapun în centru. Singura deosebire între ecuația elipsei și cea a hiperbolei e semnul dintre fracții, dar relația focală se schimbă: minus la elipsă, plus la hiperbolă.
Cercurile triunghiului
Mută vârfurile și urmărește aria, raza cercului înscris și a celui circumscris.
- Aria
- 6,00
- R (circumscris)
- 2,50
- r (înscris)
- 1,00
- Tipul
- dreptunghic
unghiuri: 90,0° + 36,9° + 53,1° = 180,0°
Heron: 6,00 | R = abc/4S = 2,50 | r = S/p = 1,00
Fă triunghiul dreptunghic și vei vedea centrul cercului circumscris mutându-se exact pe mijlocul ipotenuzei, iar R devenind jumătate din ea. Fă-l echilateral și vei obține R egal cu dublul lui r, valoarea cea mai mică posibilă a raportului: în orice triunghi R este cel puțin egal cu 2r.
Convexitate și puncte de inflexiune
Vezi simultan funcția, derivata întâi și derivata a doua, și de ce anularea lui f″ nu ajunge.
- f(x)
- 0,00
- f ′(x)
- -3,00
- f ″(x)
- 0,00
Laboratorul triunghiului
Alege cele trei laturi: vezi triunghiul desenat, unghiurile, aria (Heron), razele cercurilor înscris și circumscris, plus clasificarea completă.
Laboratorul de divizibilitate
Alege două numere: vezi descompunerea în factori primi, divizorii comuni colorați și cum se calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.