Sari la conținut

INSTRUMENTE INTERACTIVE

Vezi tot

Cercurile triunghiului

ABC
Aria
6,00
R (circumscris)
2,50
r (înscris)
1,00
Tipul
dreptunghic
laturi: a = 5,00, b = 3,00, c = 4,00
unghiuri: 90,0° + 36,9° + 53,1° = 180,0°
Heron: 6,00  |  R = abc/4S = 2,50  |  r = S/p = 1,00

Fă triunghiul dreptunghic și vei vedea centrul cercului circumscris mutându-se exact pe mijlocul ipotenuzei, iar R devenind jumătate din ea. Fă-l echilateral și vei obține R egal cu dublul lui r, valoarea cea mai mică posibilă a raportului: în orice triunghi R este cel puțin egal cu 2r.

Convexitate și puncte de inflexiune

f(x)
0,00
f ′(x)
-3,00
f ″(x)
0,00
Punct de inflexiune. Derivata a doua se anulează aici și își schimbă semnul, deci graficul trece de la concav la convex sau invers.

Conicele

FF
x²/a² + y²/b² = 1excentricitate e = 0,80

suma distanțelor la cele două focare e constantă

c² = a² − b² → c = 4,00  |  suma distanțelor la focare = 2a = 10,0

Fă elipsa să aibă a egal cu b și vei vedea că devine cerc, iar focarele se suprapun în centru. Singura deosebire între ecuația elipsei și cea a hiperbolei e semnul dintre fracții, dar relația focală se schimbă: minus la elipsă, plus la hiperbolă.

Inducția matematică

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
Suma calculată termen cu termen
15
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Valoarea din formulă
15
n(n+1)/2 pentru n = 5
Cele două coincid.
Pasul 1: verificarea
Pentru n = 1: membrul stâng dă 1, membrul drept dă 1. Adevărat.
Pasul 2: pasul inductiv
Adaugi (k+1) la ipoteză: k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2
aici: 10 + 5 = 15 corect

Bara evidențiată e termenul nou adăugat la trecerea de la k la k+1. Verificarea pe cât de multe valori vrei nu e o demonstrație: oricâte ai verifica, rămân infinit de multe neverificate. Demonstrația e chiar pasul 2, care arată că adevărul se transmite de la un număr la următorul.

Arii și corpuri de rotație

xya=0,0b=2,0
Aria subgraficului
2,667
A = ∫ f(x) dx
Volumul corpului de rotație
20,106
V = π ∫ f²(x) dx

Compară cele două numere. Volumul nu e aria înmulțită cu ceva simplu: funcția intră la pătrat, deci zonele unde graficul e înalt cântăresc mult mai mult. Pentru f(x) = x pe intervalul de la 0 la 3 volumul iese 9π, exact volumul conului cu raza 3 și înălțimea 3.

Laborator de probabilități

5 albe, 3 colorate
cazuri posibile: C(8, 2) = 28
Toate albe35,7%
C(5, 2) / C(8, 2)
Cel puțin una albă89,3%
1 − C(3, 2) / C(8, 2)
Niciuna albă10,7%
C(3, 2) / C(8, 2)
Observă: „cel puțin una albă” plus „niciuna albă” dau întotdeauna 100%. De aceea, când problema cere „cel puțin unul”, calculezi evenimentul contrar și scazi din 1. E aproape mereu calea mai scurtă.

Laborator de statistică

Separă prin spațiu sau punct și virgulă. Pentru zecimale poți folosi virgula: 7,5

Media
6,90
suma împărțită la câte sunt
Mediana
7
valoarea din mijloc, după ordonare
Modul
7
valoarea cea mai frecventă
Dispersia
2,89
media pătratelor abaterilor
Abaterea standard
1,70
rădăcina dispersiei
Amplitudinea
6
maxim minus minim
Histograma frecvențelor (10 valori)
1
4
1
5
2
6
3
7
1
8
1
9
1
10
Citire: în medie, valorile se abat cu 1,70 de la media 6,90. Cu cât abaterea standard e mai mică, cu atât datele sunt mai strânse în jurul mediei.

Calculator financiar

leiani
dobândă simplădobândă compusă
Dobândă simplă
1500,00 lei
Dobândă compusă
1628,89 lei
Diferența
128,89 lei

La un singur an cele două sunt egale. Diferența apare din anul al doilea, pentru că dobânda compusă începe să producă dobândă la dobândă. Curba compusă e o progresie geometrică, cea simplă e o dreaptă.

Laboratorul de șiruri

Tabla lui ℤn

Reperul cartezian

Laboratorul de vectori

Integrala ca arie

Permutări, aranjamente, combinări

Laboratorul de matrici

Laboratorul de progresii

Planul complex

Laboratorul triunghiului

Laboratorul de divizibilitate

Grafic de funcții

Cercul trigonometric

Compunerea funcțiilor

Direcție și sens