Capitolul 4 · Lecția 4.5 din 5

Ecuații trigonometrice de bază

Rezolvarea ecuațiilor sin x = a, cos x = a, tg x = a cu mulțimile complete de soluții.

Capitolul 4: TrigonometrieConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Ecuația $\sin x = a$ are soluții doar pentru $a \in [-1, 1]$ : $x = \arcsin a + 2k\pi$ sau $x = \pi - \arcsin a + 2k\pi$ .
Ecuația $\cos x = a$ , tot pentru $a \in [-1, 1]$ , are soluțiile $x = \pm \arccos a + 2k\pi$ .
Ecuația $\text{tg} \, x = a$ are soluții pentru orice $a$ real: $x = \text{arctg} \, a + k\pi$ .
Cazuri particulare frecvente: $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$ și $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ .

Pe această pagină6 secțiuni

Ecuația $\sin x = a$

Are soluții doar pentru $a \in [-1, 1]$ :

$x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{sau} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$

Exemplu. $\sin x = \dfrac{1}{2}$ : $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ sau $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ .

Ecuația $\cos x = a$

Tot pentru $a \in [-1, 1]$ :

$x = \pm \arccos a + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$

Exemplu. $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ .

Ecuația $\text{tg} \, x = a$

Are soluții pentru ORICE $a$ real, cu perioada $\pi$ :

$x = \text{arctg} \, a + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$

Exemplu. $\text{tg} \, x = 1$ : $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ .

Cazurile particulare (cele mai cerute)

$\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$ ;
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ; $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ;
$\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ;
$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi$ ; $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2k\pi$ .

Exemplu tip BAC (soluții într-un interval)

Câte soluții are $\sin x = \dfrac{1}{2}$ în $[0, 2\pi]$ ? Din familiile de mai sus, în interval pică $\dfrac{\pi}{6}$ și $\dfrac{5\pi}{6}$ : DOUĂ soluții.

Reține

sin dă două familii pe perioadă (unghiul și suplementul), cos dă plus-minus, tg dă o familie cu perioada π. Scrie mereu "k ∈ Z", altfel soluția e incompletă.

Greșeli frecvente

$\sin x = 2$ NU are soluții: sinusul e mărginit în $[-1, 1]$ .
La cos, a doua soluție e $-\arccos a$ , nu $\pi - \arccos a$ (aia e la sin).
La numărarea soluțiilor pe interval, testează fiecare familie cu $k = 0, \pm 1$ : nu ghici.

Instrumente pentru lecția asta

Cercul trigonometric

Trage punctul pe cerc și vezi în timp real sin, cos, tg și ctg, cu valorile exacte pentru unghiurile remarcabile.

Se încarcă instrumentul…

Grafic de funcții

Desenează una sau mai multe funcții, mută planul și apropie ca să vezi comportamentul lor. Perfect pentru monotonie, semn și intersecții.

Se încarcă instrumentul…

Bifează când ai terminat, ca s-o vezi citită pe toate dispozitivele.

Testează-te pe capitolul 4

Lecția în clipuri

Clipuri scurte, cu voce și subtitrări.