Vectori: noțiuni fundamentale și adunarea

Direcția

Fie $d$ o dreaptă în plan. Mulțimea formată din dreapta $d$ și toate dreptele paralele cu ea se numește direcția dreptei $d$.

Două drepte au aceeași direcție dacă și numai dacă sunt paralele sau coincid.

Sensul

Pe o direcție dată există exact două sensuri de parcurgere, opuse unul altuia. Sensul se vizualizează cel mai bine cu semidrepte: două semidrepte cu dreptele suport paralele (sau identice) au fie același sens, fie sensuri opuse.

Explorează cele patru situații posibile:

Ce este un vector

Un vector $\vec{AB}$ este un segment orientat, determinat de:

1. origine: punctul $A$;
2. extremitate: punctul $B$;
3. direcție: dreapta suport $AB$ (împreună cu toate paralelele ei);
4. sens: de la $A$ spre $B$;
5. modul (lungime): $|\vec{AB}| = AB \ge 0$.

Egalitatea vectorilor

Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, același sens și același modul. Punctul de aplicație NU contează: același vector poate porni de oriunde.

Vectorul nul $\vec{0}$ are modulul $0$ (originea coincide cu extremitatea). Opusul lui $\vec{AB}$ este $\vec{BA} = -\vec{AB}$: aceeași direcție și modul, sens contrar.

Exemplu rezolvat

În paralelogramul $ABCD$ (vârfuri în această ordine), ce relații există între $\vec{AB}$ și $\vec{DC}$, respectiv $\vec{AD}$ și $\vec{CB}$?

Laturile $AB$ și $DC$ sunt paralele și egale, iar sensurile de la $A$ la $B$ și de la $D$ la $C$ coincid, deci $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Pentru celelalte: $AD \parallel BC$ și $AD = BC$, dar sensurile de la $A$ la $D$ și de la $C$ la $B$ sunt CONTRARE, deci $\vec{AD} = -\vec{CB}$, adică $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Greșeli frecvente

1. Egalitatea vectorilor nu cere același punct de pornire: $\vec{AB} = \vec{DC}$ chiar dacă pornesc din puncte diferite.
2. $\vec{AB}$ și $\vec{BA}$ NU sunt egali: au sensuri opuse, deci $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
3. Direcția și sensul sunt noțiuni diferite: întâi verifici direcția (paralelism), abia apoi compari sensurile.