Coliniaritatea vectorilor și descompunerea

Condiția de coliniaritate

Vectorii $\vec{u} = a_1 \vec{i} + b_1 \vec{j}$ și $\vec{v} = a_2 \vec{i} + b_2 \vec{j}$ sunt COLINIARI dacă au componentele proporționale:

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \qquad \text{(echivalent: } a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0\text{)}$

Exemplu. $\vec{u} = 2\vec{i} + 4\vec{j}$ și $\vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j}$: $\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = 2$, deci coliniari, cu $\vec{u} = 2\vec{v}$.

Exemplu cu parametru. Determină $m$ pentru care $\vec{u} = 3\vec{i} + m\vec{j}$ și $\vec{v} = 6\vec{i} + 4\vec{j}$ sunt coliniari: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{m}{4} \Rightarrow m = 2$.

Vectorul determinat de două puncte

Pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$:

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$

Coliniaritatea a trei puncte $A, B, C$: vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ coliniari.

Exemplu. $A(1, 2)$, $B(3, 6)$, $C(4, 8)$: $\overrightarrow{AB} = 2\vec{i} + 4\vec{j}$, $\overrightarrow{AC} = 3\vec{i} + 6\vec{j}$; proporționale ($\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$), deci punctele sunt coliniare.

Operații cu vectori în coordonate

$\vec{u} + \vec{v} = (a_1 + a_2)\vec{i} + (b_1 + b_2)\vec{j}, \qquad \lambda \vec{u} = \lambda a_1 \vec{i} + \lambda b_1 \vec{j}$

Exemplu tip BAC. $\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j}$, $\vec{v} = \vec{i} + 3\vec{j}$. Calculează $2\vec{u} + \vec{v} = (4 + 1)\vec{i} + (-2 + 3)\vec{j} = 5\vec{i} + \vec{j}$.

Vectorul de poziție al mijlocului

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$: $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$; vectorial, $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Greșeli frecvente

1. $\overrightarrow{AB}$ se calculează B minus A, nu invers.
2. Proporția cere atenție la zero: dacă $a_2 = 0$, folosește forma $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$.
3. Vectori egali înseamnă TOATE componentele egale, nu doar modulele.