Produsul scalar a doi vectori

Definiție

Produsul scalar al vectorilor $\vec{u}$ și $\vec{v}$ este numărul real:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$

unde $\theta$ este unghiul dintre ei. Rezultatul este un NUMĂR, nu un vector.

Formula pe coordonate

Pentru $\vec{u}(x_1, y_1)$ și $\vec{v}(x_2, y_2)$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Consecințe esențiale

Perpendicularitate: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (pentru vectori nenuli).

Modulul prin produs scalar: $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$.

Unghiul dintre vectori: $\cos\theta = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Exemple rezolvate

1. $\vec{u}(2, 3)$ și $\vec{v}(3, -2)$: produsul scalar este $2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 0$, deci vectorii sunt perpendiculari.

2. Determină $m$ astfel încât $\vec{a}(m, 2)$ și $\vec{b}(3, -6)$ să fie perpendiculari.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3m - 12 = 0$, deci $m = 4$.

3. Calculează unghiul dintre $\vec{u}(1, 0)$ și $\vec{v}(1, 1)$.

$\cos\theta = \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.

Greșeli frecvente

1. Produsul scalar dă un număr; scrierea $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\dots, \dots)$ este greșită din start.
2. Perpendicularitatea se testează cu produsul scalar ZERO, nu cu pante (vectorii pot fi verticali).
3. În formula unghiului, numitorul conține modulele, fiecare cu radicalul lui: nu aduna sub același radical.