Coordonatele unui vector. Modulul

Reperul și versorii

În reperul cartezian $xOy$ folosim versorii $\vec{i}$ (pe $Ox$) și $\vec{j}$ (pe $Oy$), vectori de modul 1. Orice vector se descompune unic:

$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$

Numerele $x, y$ sunt coordonatele vectorului și scriem $\vec{u}(x, y)$.

Vectorul determinat de două puncte

Pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$

Coordonatele vectorului sunt "vârf minus origine".

Modulul

$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Exemplu: $\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$ are $|\vec{u}| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Operații pe coordonate

$\vec{u}(x_1, y_1) + \vec{v}(x_2, y_2) = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2), \qquad \alpha\vec{u} = (\alpha x_1, \; \alpha y_1)$

Coliniaritate: $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari dacă există $\alpha$ cu $\vec{v} = \alpha \vec{u}$, echivalent $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.

Exemplu rezolvat

Fie $A(1, 2)$, $B(4, 6)$. Determină coordonatele și modulul lui $\vec{AB}$, apoi verifică dacă $\vec{u}(6, 8)$ este coliniar cu $\vec{AB}$.

$\vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$, deci $|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Coliniaritate: $3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 = 24 - 24 = 0$, deci da, $\vec{u} = 2\vec{AB}$.

Greșeli frecvente

1. La $\vec{AB}$ se scade ORIGINEA din vârf: $(x_B - x_A)$, nu invers.
2. Nu confunda coordonatele unui punct cu ale unui vector: punctul e o poziție, vectorul o deplasare.
3. Condiția de coliniaritate este anularea "determinantului" $x_1 y_2 - x_2 y_1$, nu egalitatea coordonatelor.