Reperul cartezian. Coordonatele unui punct

Reperul cartezian

Un reper cartezian în plan este format din două axe perpendiculare: axa $Ox$ (orizontală, a absciselor) și axa $Oy$ (verticală, a ordonatelor), care se intersectează în originea $O$. Orice punct $A$ din plan este identificat de perechea de coordonate $A(x_A, y_A)$.

Distanța dintre două puncte

Pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Formula este exact teorema lui Pitagora aplicată pe triunghiul dreptunghic cu catetele paralele cu axele.

Mijlocul unui segment

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are coordonatele:

$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Exemple rezolvate

1. Fie $A(1, 2)$ și $B(4, 6)$. Calculează $AB$ și coordonatele mijlocului lui $AB$.

$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$

Mijlocul: $M\left(\dfrac{1+4}{2}, \dfrac{2+6}{2}\right) = M\left(\dfrac{5}{2}, 4\right)$.

2. Determină $a \in \mathbb{R}$ știind că punctele $A(2, a)$ și $B(5, 1)$ se află la distanța $5$.

$AB^2 = (5-2)^2 + (1-a)^2 = 9 + (1-a)^2 = 25 \Rightarrow (1-a)^2 = 16.$

Deci $1 - a = \pm 4$, adică $a = -3$ sau $a = 5$.

3. Punctul $M(3, 1)$ este mijlocul segmentului $AB$, unde $A(1, -2)$. Află coordonatele lui $B$.

Din formulele mijlocului: $x_B = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ și $y_B = 2 \cdot 1 - (-2) = 4$. Deci $B(5, 4)$.

Greșeli frecvente

1. În formula distanței, diferențele se ridică la pătrat SEPARAT; nu aduna întâi coordonatele.
2. Distanța e întotdeauna pozitivă; dacă obții ecuație cu pătrate, nu pierde a doua soluție (ca $a = -3$ mai sus).
3. Nu inversa ordinea axelor: prima coordonată e pe orizontală ($x$), a doua pe verticală ($y$).