Panta unei drepte. Ecuația dreptei

Panta unei drepte

Panta (coeficientul unghiular) a unei drepte care trece prin punctele $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$ cu $x_A \ne x_B$ este:

$m_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Panta măsoară cât urcă dreapta pe verticală pentru fiecare unitate pe orizontală. Dreptele verticale nu au pantă.

Formele ecuației dreptei

Dreapta prin un punct $A(x_0, y_0)$ cu panta $m$: $y - y_0 = m(x - x_0)$

Forma explicită: $y = mx + n$, unde $n$ este ordonata la origine.

Forma generală: $ax + by + c = 0$; dacă $b \ne 0$, panta este $m = -\dfrac{a}{b}$.

Paralelism și perpendicularitate

Pentru drepte neverticale $d_1$ și $d_2$ cu pantele $m_1$ și $m_2$:

$d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2, \qquad d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1.$

Exemple rezolvate

1. Scrie ecuația dreptei care trece prin $A(1, 2)$ și $B(3, 8)$.

Panta: $m = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$. Ecuația: $y - 2 = 3(x - 1)$, adică $y = 3x - 1$.

2. Scrie ecuația dreptei care trece prin $P(2, -1)$ și este paralelă cu dreapta $y = 2x + 5$.

Paralelismul dă $m = 2$, deci $y + 1 = 2(x - 2)$, adică $y = 2x - 5$.

3. Verifică dacă dreptele $d_1: y = 2x + 1$ și $d_2: x + 2y - 4 = 0$ sunt perpendiculare.

Panta lui $d_2$: $m_2 = -\dfrac{1}{2}$. Produsul: $2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$, deci da, sunt perpendiculare.

Greșeli frecvente

1. Panta se calculează cu diferența ordonatelor SUS și a absciselor JOS, în aceeași ordine a punctelor.
2. Perpendicularitatea cere produsul pantelor $-1$, nu pante opuse: opusă și inversă simultan.
3. Din forma generală, semnul contează: la $x + 2y - 4 = 0$, panta e $-\dfrac{1}{2}$, nu $\dfrac{1}{2}$.

Trasează mai jos câteva drepte și observă cum semnul și mărimea pantei schimbă înclinarea.