Forma algebrică a numerelor complexe

De ce avem nevoie de numere complexe

Ecuația $x^2 + 1 = 0$ nu are soluții reale, pentru că niciun pătrat de număr real nu este negativ. Introducem unitatea imaginară $i$, definită prin:

$i^2 = -1$

Forma algebrică

Un număr complex se scrie $z = a + bi$, cu $a, b \in \mathbb{R}$. Numărul $a$ se numește partea reală ($\operatorname{Re} z$), iar $b$ partea imaginară ($\operatorname{Im} z$). Mulțimea numerelor complexe se notează $\mathbb{C}$.

Două numere complexe sunt egale exact când au părțile reale egale și părțile imaginare egale.

Operații

Adunarea și scăderea se fac pe componente: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Înmulțirea se face ca la binoame, folosind $i^2 = -1$: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Exemple rezolvate

1. $(2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i$.

2. $(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$.

3. Determină $x, y \in \mathbb{R}$ pentru care $x + 2i = 3 + (y - 1)i$.

Egalăm părțile: $x = 3$ și $2 = y - 1$, deci $y = 3$.

Greșeli frecvente

1. La înmulțire, nu uita că $i^2 = -1$ schimbă semnul termenului $bd$.
2. Partea imaginară este coeficientul $b$, un număr REAL, nu $bi$.
3. $i$ nu este o variabilă: puterile lui se calculează, nu se lasă ca litere.