Ecuația de gradul al II-lea cu discriminant negativ

Cazul discriminantului negativ

Pentru ecuația $az^2 + bz + c = 0$ cu $a, b, c \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$, discriminantul este $\Delta = b^2 - 4ac$.

Când $\Delta < 0$, ecuația nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate:

$z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Observă: $\sqrt{-\Delta}$ este radical dintr-un număr POZITIV, iar $i$ preia semnul minus.

Exemplu rezolvat

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2 - 2z + 5 = 0$.

$\Delta = 4 - 20 = -16$. Atunci:

$z_{1,2} = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i.$

Verificare pentru $z_1 = 1 + 2i$: $z_1^2 = 1 + 4i + 4i^2 = -3 + 4i$, apoi $z_1^2 - 2z_1 + 5 = -3 + 4i - 2 - 4i + 5 = 0$. Corect.

Relațiile lui Viète rămân valabile

$z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}$

În exemplul de mai sus: $z_1 + z_2 = 2$ și $z_1 z_2 = (1+2i)(1-2i) = 1 + 4 = 5$. Exact coeficienții ecuației.

Greșeli frecvente

1. Nu scrie $\sqrt{\Delta}$ când $\Delta < 0$: scrie $i\sqrt{-\Delta}$, cu argument pozitiv sub radical.
2. Soluțiile complexe ale ecuațiilor cu coeficienți reali vin MEREU în perechi conjugate; dacă ale tale nu sunt conjugate, ai greșit.
3. La verificare, calculează $z^2$ atent: $(1+2i)^2 = -3 + 4i$, nu $5 + 4i$.