Ecuația de gradul al II-lea cu rădăcini complexe

Cazul $\Delta < 0$

Ecuația $ax^2 + bx + c = 0$ cu $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ nu are rădăcini reale, dar are DOUĂ rădăcini complexe conjugate:

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Exemplu rezolvat complet

$x^2 + 2x + 5 = 0$: $\Delta = 4 - 20 = -16$.

$x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

Verificare pentru $x_1 = -1 + 2i$: $x_1^2 = 1 - 4i + 4i^2 = -3 - 4i$; atunci $x_1^2 + 2x_1 + 5 = -3 - 4i - 2 + 4i + 5 = 0$ ✓.

Rădăcinile sunt conjugate

Dacă ecuația are coeficienți REALI și $\Delta < 0$, rădăcinile sunt conjugate: $x_2 = \overline{x_1}$. Din exemplu: $-1 + 2i$ și $-1 - 2i$.

Proprietăți: $z + \overline{z} = 2 \, \text{Re}(z)$ (real), $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ (real pozitiv).

Viete funcționează și în $\mathbb{C}$

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$

Pe exemplu: $x_1 + x_2 = (-1 + 2i) + (-1 - 2i) = -2 = -b/a$ ✓ și $x_1 x_2 = (-1)^2 - (2i)^2 = 1 + 4 = 5 = c/a$ ✓.

Tipar de BAC: construirea ecuației din rădăcini

Ecuația cu rădăcinile $2 + i$ și $2 - i$: suma $S = 4$, produsul $P = 4 - i^2 = 5$, deci $x^2 - Sx + P = x^2 - 4x + 5 = 0$.

Greșeli frecvente

1. $\sqrt{-16} = 4i$ (în scrierea $i\sqrt{-\Delta}$), nu $-4$.
2. Conjugarea schimbă DOAR semnul părții imaginare.
3. La produs folosește $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$, nu $a^2 - b^2$.