Matrici: operații și determinanți de ordin 2

Ce este o matrice

O matrice este un tablou dreptunghiular de numere, cu $m$ linii și $n$ coloane. Elementul $a_{ij}$ stă pe linia $i$, coloana $j$. Matricile pătratice au $m = n$.

Adunarea și înmulțirea cu scalar

Se fac element cu element (matricile trebuie să aibă aceleași dimensiuni):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

Înmulțirea matricilor

Elementul $(i, j)$ al produsului $A \cdot B$ este suma produselor dintre linia $i$ din $A$ și coloana $j$ din $B$:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0 \\ 3\cdot0+4\cdot1 & 3\cdot1+4\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

Înmulțirea NU este comutativă: în general $AB \ne BA$.

Determinantul de ordin 2

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Exemplu. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2.$

Matricea este inversabilă exact când determinantul e nenul.

Exemplu rezolvat

Determină $x$ astfel încât matricea $A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ să NU fie inversabilă.

$\det A = 6x - 6 = 0$, deci $x = 1$.

Greșeli frecvente

1. Produsul se face LINIE pe COLOANĂ, nu element cu element.
2. $AB \ne BA$ în general: verifică ordinea cerută de problemă.
3. La determinant, diagonala secundară intră cu MINUS: $ad - bc$, nu $ad + bc$.