Determinantul de ordin 3 și inversa matricei

Determinantul de ordin 3 (regula lui Sarrus)

Copiezi primele două linii sub determinant, aduni produsele pe diagonalele descendente și scazi produsele pe cele ascendente:

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + dhc + gbf - ceg - fha - ibd$

Exemplu. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ (liniile sunt în progresie: determinant nul).

Exemplu 2. $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 + 0 + 3 - 0 - 0 - 0 = 5$.

Inversa unei matrice

$A$ e inversabilă $\iff \det A \ne 0$, iar

$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot A^*$

unde $A^*$ e adjuncta: transpusa matricei complemenților algebrici.

Inversa matricei 2x2 (formulă rapidă)

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Diagonala principală se INVERSEAZĂ, cea secundară își schimbă SEMNUL.

Exemplu. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: $\det A = 1$, deci $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Verificare: $A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2-1 & -2+2 \\ 1-1 & -1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ ✓

Proprietăți de calcul rapid al determinanților

1. două linii (coloane) EGALE sau proporționale → determinant 0;
2. o linie întreagă de zerouri → determinant 0;
3. $\det(AB) = \det A \cdot \det B$;
4. factorul comun al unei linii iese în fața determinantului.

Greșeli frecvente

1. La Sarrus, diagonalele ascendente se SCAD, toate trei.
2. La inversa 2x2, minusul e pe diagonala SECUNDARĂ (b și c), nu pe cea principală.
3. $\det(A + B) \ne \det A + \det B$: determinantul NU e aditiv.