Sisteme de ecuații liniare

Sistemul 2x2

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Metoda reducerii. Înmulțim ecuațiile astfel încât un necunoscut să se elimine prin adunare.

Exemplu. $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$: adunând, $2x = 6 \Rightarrow x = 3$, apoi $y = 2$.

Regula lui Cramer (2x2)

Determinantul sistemului: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$. Dacă $\Delta \ne 0$, soluția este unică:

$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}$

unde $\Delta_x$, $\Delta_y$ se obțin înlocuind coloana lui $x$, respectiv $y$, cu coloana termenilor liberi.

Exemplu. $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 3y = 11 \end{cases}$: $\Delta = 6 - 1 = 5$, $\Delta_x = 21 - 11 = 10$, $\Delta_y = 22 - 7 = 15$, deci $x = 2$, $y = 3$. Verificare: $2 \cdot 2 + 3 = 7$ ✓.

Discuția sistemului

1. $\Delta \ne 0$: soluție UNICĂ (sistem compatibil determinat);
2. $\Delta = 0$ și determinanții secundari nuli: o INFINITATE de soluții (compatibil nedeterminat), dacă măcar un coeficient al necunoscutelor e nenul; excepție: dacă toți coeficienții necunoscutelor sunt nuli și un termen liber e nenul (de ex. $0x + 0y = 1$), sistemul e incompatibil, deși toți determinanții sunt nuli. În caz de dubiu decide teorema lui Rouché;
3. $\Delta = 0$ și un determinant secundar nenul: FĂRĂ soluții (incompatibil).

Exemplu de discuție

Pentru ce $m$ sistemul $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + my = 4 \end{cases}$ NU are soluție unică?

$\Delta = m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$. Pentru $m = 2$ a doua ecuație e dublul primei: infinitate de soluții.

Greșeli frecvente

1. La $\Delta_x$ se înlocuiește coloana COEFICIENȚILOR lui $x$ cu termenii liberi, nu o linie.
2. $\Delta = 0$ nu înseamnă automat "fără soluții": poate fi și infinitate.
3. Verifică soluția în AMBELE ecuații.