Capitolul 9 · Lecția 9.2 din 2

Sisteme 3x3: eliminarea succesivă (Gauss)

Rezolvarea sistemelor cu trei necunoscute prin combinarea ecuațiilor, cu verificare completă.

Capitolul 9: Sisteme de ecuații liniareConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Combini ecuațiile ca să elimini pe rând câte o necunoscută, până rămâi cu una singură.
După ce afli ultima necunoscută, urci înapoi prin substituție ca să le găsești pe celelalte.
Când coeficienții permit, scăderea a două ecuații poate da direct o necunoscută, ca $2y = 4$ din primele două ecuații.
Din sistemul redus scoți o necunoscută, ca $y = 5 - 3x$ , o înlocuiești în cealaltă ecuație și afli $x = 1$ .

Pe această pagină4 secțiuni

Ideea metodei

Combini ecuațiile ca să ELIMINI pe rând câte o necunoscută, până rămâi cu una singură; apoi urci înapoi prin substituție.

Exemplu rezolvat complet

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

Pasul 1. (Ec. 1) − (Ec. 2): $2y = 4 \Rightarrow y = 2$ .

Pasul 2. (Ec. 1) − (Ec. 3): $2z = 6 \Rightarrow z = 3$ .

Pasul 3. Din Ec. 1: $x = 6 - 2 - 3 = 1$ .

Soluția: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ . Verificare în ecuația 2: $1 - 2 + 3 = 2$ ✓ și în ecuația 3: $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

Un exemplu cu eliminare dublă

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

Elimin z din două perechi diferite:

(Ec. 1) + (Ec. 3): $2x + 3y = 8$ .

(Ec. 2) + (Ec. 3): $3x + y = 5$ .

Sistemul redus 2x2: din a doua, $y = 5 - 3x$ ; înlocuiesc în prima:

$2x + 3(5 - 3x) = 8 \Rightarrow 2x + 15 - 9x = 8 \Rightarrow -7x = -7 \Rightarrow x = 1$

Apoi $y = 5 - 3 = 2$ și, din Ec. 1, $z = 6 - 1 - 2 = 3$ .

Verificare în toate trei: Ec. 1: $1+2+3=6$ ✓; Ec. 2: $2-2+3=3$ ✓; Ec. 3: $1+4-3=2$ ✓.

Reține

Eliminați aceeași necunoscută din DOUĂ perechi diferite de ecuații: obții un sistem 2x2 curat. Verificarea finală în toate cele trei ecuații inițiale prinde orice alunecare de calcul.

Greșeli frecvente

Folosirea aceleiași perechi de ecuații de două ori → identități inutile (0 = 0).
Semnele la scădere: scazi TOATĂ ecuația, termen cu termen.
Soluția se verifică în ecuațiile INIȚIALE, nu în cele derivate.

Instrumente pentru lecția asta

Explorează interactiv

Se încarcă instrumentul…

Laboratorul de matrici

Editează două matrici 2×2: adunare, înmulțire (cu dovada că nu e comutativă!) și determinant cu regula diagonalelor.

Se încarcă instrumentul…

Bifează când ai terminat, ca s-o vezi citită pe toate dispozitivele.

Testează-te pe capitolul 9

Lecția în clipuri

Clipuri scurte, cu voce și subtitrări.