Ideea metodei

Combini ecuațiile ca să ELIMINI pe rând câte o necunoscută, până rămâi cu una singură; apoi urci înapoi prin substituție.

Exemplu rezolvat complet

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

Pasul 1. (Ec. 1) − (Ec. 2): $2y = 4 \Rightarrow y = 2$ .

Pasul 2. (Ec. 1) − (Ec. 3): $2z = 6 \Rightarrow z = 3$ .

Pasul 3. Din Ec. 1: $x = 6 - 2 - 3 = 1$ .

Soluția: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ . Verificare în ecuația 2: $1 - 2 + 3 = 2$ ✓ și în ecuația 3: $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

Elimin z din două perechi diferite:

(Ec. 1) + (Ec. 3): $2x + 3y = 8$ .

(Ec. 2) + (Ec. 3): $3x + y = 5$ .

Sistemul redus 2x2: din a doua, $y = 5 - 3x$ ; înlocuiesc în prima:

$2x + 3(5 - 3x) = 8 \Rightarrow 2x + 15 - 9x = 8 \Rightarrow -7x = -7 \Rightarrow x = 1$

Apoi $y = 5 - 3 = 2$ și, din Ec. 1, $z = 6 - 1 - 2 = 3$ .

Verificare în toate trei: Ec. 1: $1+2+3=6$ ✓; Ec. 2: $2-2+3=3$ ✓; Ec. 3: $1+4-3=2$ ✓.

Folosirea aceleiași perechi de ecuații de două ori → identități inutile (0 = 0).
Semnele la scădere: scazi TOATĂ ecuația, termen cu termen.
Soluția se verifică în ecuațiile INIȚIALE, nu în cele derivate.