Legi de compoziție și grupuri

Legea de compoziție

O lege de compoziție pe mulțimea $M$ asociază oricărei perechi $(x, y)$ din $M$ un element $x \circ y$ tot din $M$ (parte stabilă).

Exemplul standard la BAC: $x \circ y = x + y - 2$ pe $\mathbb{R}$.

Proprietățile care se verifică

1. Asociativitatea: $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$.

Pentru exemplul nostru: $(x \circ y) \circ z = (x + y - 2) + z - 2 = x + y + z - 4$ și la fel pe partea dreaptă. ✓

2. Comutativitatea: $x \circ y = y \circ x$. Aici: evidentă din simetria formulei. ✓

3. Elementul neutru $e$: $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x$.

$x + e - 2 = x \Rightarrow e = 2$

4. Simetricul lui $x$: elementul $x'$ cu $x \circ x' = e$.

$x + x' - 2 = 2 \Rightarrow x' = 4 - x$

Structura de grup

$(G, \circ)$ este grup dacă legea este asociativă, are element neutru și orice element are simetric. Dacă în plus e comutativă, grupul e abelian.

Exemple clasice: $(\mathbb{Z}, +)$ este grup abelian (neutru 0, simetricul lui $x$ este $-x$); $(\mathbb{R}^*, \cdot)$ este grup (neutru 1, simetricul lui $x$ este $1/x$).

$(\mathbb{N}, +)$ NU este grup: lipsesc simetricele (opusul lui 3 nu e natural).

Trucul de calcul rapid

Multe legi de la BAC se rescriu $x \circ y = (x - a)(y - a) + a$ sau $x \circ y = (x - a) + (y - a) + a$. Exemplu: $x \circ y = xy - 3x - 3y + 12 = (x-3)(y-3) + 3$. Cu forma asta, compunerile repetate devin puteri: $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{n} = (x-3)^n + 3$.

Greșeli frecvente

1. Elementul neutru trebuie să fie ÎN mulțimea dată, nu doar să existe formal.
2. Nu presupune comutativitatea: verific-o separat.
3. La forma restrânsă $(x-a)(y-a)+a$, verifică prin dezvoltare că regăsești legea inițială.