Grupul claselor de resturi Z_n

Mulțimea $\mathbb{Z}_n$

$\mathbb{Z}_n = \{\hat{0}, \hat{1}, \ldots, \widehat{n-1}\}$

clasele de resturi modulo $n$: $\hat{a}$ = toate numerele întregi care dau restul $a$ la împărțirea cu $n$. Operația: $\hat{a} + \hat{b} = \widehat{a + b \pmod n}$.

Tabla adunării în $\mathbb{Z}_4$

$(\mathbb{Z}_n, +)$ este grup abelian

1. parte stabilă: suma a două clase e tot o clasă ✓ (vizibil în tablă: doar elemente din mulțime);
2. asociativitate: moștenită de la adunarea întregilor;
3. element neutru: $\hat{0}$;
4. simetricul lui $\hat{a}$: $\widehat{n - a}$. În $\mathbb{Z}_4$: simetricul lui $\hat{1}$ e $\hat{3}$ (pentru că $1 + 3 = 4 \equiv 0$), al lui $\hat{2}$ e $\hat{2}$;
5. comutativitate: tabla e simetrică față de diagonală.

Cum citești proprietățile din tablă (tehnica de BAC)

1. neutrul = elementul a cărui LINIE reproduce capul de tabel;
2. simetricul lui $a$ = elementul de pe coloana unde linia lui $a$ dă neutrul;
3. comutativitatea = simetria tablei față de diagonala principală.

Înmulțirea în $\mathbb{Z}_n$ (atenție!)

$(\mathbb{Z}_n, \cdot)$ NU e grup: $\hat{0}$ nu are invers. Chiar și fără $\hat{0}$, în $\mathbb{Z}_4$: $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ (divizori ai lui zero!). $(\mathbb{Z}_n \setminus \{\hat{0}\}, \cdot)$ e grup DOAR pentru $n$ PRIM.

Exemplu. În $\mathbb{Z}_5$: inversul lui $\hat{3}$ față de înmulțire e $\hat{2}$, pentru că $3 \cdot 2 = 6 \equiv 1$.

Greșeli frecvente

1. $\hat{2} + \hat{3} = \hat{1}$ în $\mathbb{Z}_4$ (nu $\hat{5}$): rezultatul se reduce mereu modulo n.
2. Simetricul lui $\hat{0}$ e $\hat{0}$, nu $\hat{n}$ (care nici nu există ca clasă distinctă).
3. Nu confunda structura aditivă (mereu grup) cu cea multiplicativă (grup doar pe nenule și doar pentru n prim).