Capitolul 10 · Lecția 10.2 din 2

Grupul claselor de resturi Z_n

Adunarea modulo n, tabla operației și proprietățile de grup pe exemplul Z_4.

Capitolul 10: Legi de compoziție și structuri algebriceConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

$\mathbb{Z}_n$ conține clasele de resturi modulo $n$ , iar $\hat{a} + \hat{b}$ este clasa restului lui $a + b$ la împărțirea cu $n$ .
$(\mathbb{Z}_n, +)$ este grup abelian: asociativitatea e moștenită de la întregi, iar neutrul este $\hat{0}$ .
Din tabla operației: neutrul este elementul a cărui linie reproduce capul de tabel, iar comutativitatea se vede din simetria față de diagonala principală.
În $\mathbb{Z}_4$ apar divizori ai lui zero, pentru că $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ .

Pe această pagină6 secțiuni

Mulțimea $\mathbb{Z}_n$

$\mathbb{Z}_n = \{\hat{0}, \hat{1}, \ldots, \widehat{n-1}\}$

clasele de resturi modulo $n$ : $\hat{a}$ = toate numerele întregi care dau restul $a$ la împărțirea cu $n$ . Operația: $\hat{a} + \hat{b} = \widehat{a + b \pmod n}$ .

Tabla adunării în $\mathbb{Z}_4$

+	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{1}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$
$\hat{2}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$
$\hat{3}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$

$(\mathbb{Z}_n, +)$ este grup abelian

parte stabilă: suma a două clase e tot o clasă ✓ (vizibil în tablă: doar elemente din mulțime);
asociativitate: moștenită de la adunarea întregilor;
element neutru: $\hat{0}$ ;
simetricul lui $\hat{a}$ : $\widehat{n - a}$ . În $\mathbb{Z}_4$ : simetricul lui $\hat{1}$ e $\hat{3}$ (pentru că $1 + 3 = 4 \equiv 0$ ), al lui $\hat{2}$ e $\hat{2}$ ;
comutativitate: tabla e simetrică față de diagonală.

Cum citești proprietățile din tablă (tehnica de BAC)

neutrul = elementul a cărui LINIE reproduce capul de tabel;
simetricul lui $a$ = elementul de pe coloana unde linia lui $a$ dă neutrul;
comutativitatea = simetria tablei față de diagonala principală.

Înmulțirea în $\mathbb{Z}_n$ (atenție!)

$(\mathbb{Z}_n, \cdot)$ NU e grup: $\hat{0}$ nu are invers. Chiar și fără $\hat{0}$ , în $\mathbb{Z}_4$ : $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ (divizori ai lui zero!). $(\mathbb{Z}_n \setminus \{\hat{0}\}, \cdot)$ e grup DOAR pentru $n$ PRIM.

Exemplu. În $\mathbb{Z}_5$ : inversul lui $\hat{3}$ față de înmulțire e $\hat{2}$ , pentru că $3 \cdot 2 = 6 \equiv 1$ .

Reține

La adunare, simetricul lui â este n−a (cu 0̂ neutru). La înmulțire, inversele există pentru toate elementele nenule DOAR când n e prim.

Greșeli frecvente

$\hat{2} + \hat{3} = \hat{1}$ în $\mathbb{Z}_4$ (nu $\hat{5}$ ): rezultatul se reduce mereu modulo n.
Simetricul lui $\hat{0}$ e $\hat{0}$ , nu $\hat{n}$ (care nici nu există ca clasă distinctă).
Nu confunda structura aditivă (mereu grup) cu cea multiplicativă (grup doar pe nenule și doar pentru n prim).

Instrumente pentru lecția asta

Tabla lui ℤn

Tabla adunării și înmulțirii în ℤ4, ℤ5, ℤ6: apasă pe celule, găsește neutrul și simetricul și vezi de ce ℤ5* e grup iar ℤ6* nu.

Se încarcă instrumentul…

Bifează când ai terminat, ca s-o vezi citită pe toate dispozitivele.

Testează-te pe capitolul 10

Lecția în clipuri

Clipuri scurte, cu voce și subtitrări.

Grupul claselor de resturi Z_n

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Mulțimea Zn\mathbb{Z}_nZn​

Tabla adunării în Z4\mathbb{Z}_4Z4​

(Zn,+)(\mathbb{Z}_n, +)(Zn​,+) este grup abelian