Polinoame: împărțire, rest și rădăcini

Noțiuni de bază

Un polinom cu coeficienți reali: $f = a_n X^n + \ldots + a_1 X + a_0$, cu $a_n \ne 0$; $n$ este gradul. Valoarea în $x = c$: $f(c)$ se obține înlocuind $X$ cu $c$.

Rădăcină: $c$ este rădăcină a lui $f$ dacă $f(c) = 0$.

Teorema restului și teorema lui Bezout

Restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f(a)$:

$f = (X - a) \cdot q + f(a)$

Consecință (Bezout): $X - a$ divide $f$ $\iff$ $f(a) = 0$ $\iff$ $a$ este rădăcină.

Exemplu. Restul împărțirii lui $f = X^3 - 2X + 5$ la $X - 2$: $f(2) = 8 - 4 + 5 = 9$.

Relațiile lui Viete (gradul 2 și 3)

Pentru $aX^2 + bX + c$ cu rădăcinile $x_1, x_2$:

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$

Pentru $X^3 + pX^2 + qX + r$ cu rădăcinile $x_1, x_2, x_3$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -p, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = q, \quad x_1 x_2 x_3 = -r$

Exemple rezolvate

1. $f = X^2 - 5X + 6$: suma rădăcinilor este 5, produsul 6, deci $x_1 = 2, x_2 = 3$.

2. Determină $m$ dacă $x = 1$ este rădăcină a lui $f = X^3 + mX - 4$: $f(1) = 1 + m - 4 = 0 \Rightarrow m = 3$.

3. Descompunerea clasică: $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$.

Greșeli frecvente

1. În Viete, suma e $-b/a$: nu uita semnul minus.
2. Restul la împărțirea prin $X - a$ e $f(a)$, nu $f(-a)$; la $X + a$ restul e $f(-a)$.
3. Gradul produsului: $\text{grad}(fg) = \text{grad}(f) + \text{grad}(g)$.