Descompunerea polinoamelor și ecuații de grad superior

Formulele de descompunere de știut

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Exemplu. $X^3 - 8 = (X - 2)(X^2 + 2X + 4)$.

Schema lui Horner (împărțirea rapidă la X - a)

Pentru $f = X^3 - 2X^2 - 5X + 6$ și $a = 1$: scrii coeficienții 1, -2, -5, 6 și cobori primul; apoi înmulțești cu $a$ și aduni:

Restul e 0, deci $x = 1$ e rădăcină și $f = (X-1)(X^2 - X - 6) = (X-1)(X-3)(X+2)$.

Rădăcinile: $1, 3, -2$. Verificare cu Viete: suma $= 2$ = coeficientul lui $X^2$ cu semn schimbat ✓.

Rădăcinile întregi: divizorii termenului liber

Dacă $f$ are coeficienți întregi, orice rădăcină ÎNTREAGĂ divide termenul liber. Pentru $f = X^3 - 2X^2 - 5X + 6$: candidații sunt $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$; testezi cu Horner sau prin calcul direct.

Ecuațiile bipătrate

$aX^4 + bX^2 + c = 0$: notezi $t = X^2 \ge 0$ și rezolvi ecuația de gradul 2 în $t$.

Exemplu. $X^4 - 5X^2 + 4 = 0$: cu $t = X^2$: $t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1$ sau $t = 4$. Deci $X^2 = 1 \Rightarrow X = \pm 1$ și $X^2 = 4 \Rightarrow X = \pm 2$. Patru rădăcini: $\pm1, \pm2$.

Greșeli frecvente

1. La bipătrate, soluțiile negative în $t$ se ARUNCĂ ($t = X^2 \ge 0$), dar fiecare $t > 0$ dă DOUĂ rădăcini în $X$.
2. În Horner coeficienții lipsă se scriu cu 0 (pentru $X^3 + 2X - 1$: coeficienții 1, 0, 2, -1).
3. $a^3 + b^3$ are minus în paranteză ($a^2 - ab + b^2$), nu plus.