Capitolul 11 · Lecția 11.2 din 2

Descompunerea polinoamelor și ecuații de grad superior

Formulele de descompunere, schema lui Horner și rezolvarea ecuațiilor bipătrate.

Capitolul 11: PolinoameConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Diferența de pătrate și diferența de cuburi se factorizează: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ și $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ .
Schema lui Horner împarte rapid la $X - a$ : cobori primul coeficient, apoi înmulțești cu $a$ și aduni la coeficientul următor.
Dacă ultimul număr din schema lui Horner este 0, atunci $a$ e rădăcină, iar celelalte numere sunt coeficienții câtului.
Ecuația bipătrată $aX^4 + bX^2 + c = 0$ se rezolvă cu notația $t = X^2 \ge 0$ , care o reduce la o ecuație de gradul 2.

Pe această pagină5 secțiuni

Formulele de descompunere de știut

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Exemplu. $X^3 - 8 = (X - 2)(X^2 + 2X + 4)$ .

Schema lui Horner (împărțirea rapidă la X - a)

Pentru $f = X^3 - 2X^2 - 5X + 6$ și $a = 1$ : scrii coeficienții 1, -2, -5, 6 și cobori primul; apoi înmulțești cu $a$ și aduni:

	1	-2	-5	6
$a=1$	1	-1	-6	0

Restul e 0, deci $x = 1$ e rădăcină și $f = (X-1)(X^2 - X - 6) = (X-1)(X-3)(X+2)$ .

Rădăcinile: $1, 3, -2$ . Verificare cu Viete: suma $= 2$ = coeficientul lui $X^2$ cu semn schimbat ✓.

Rădăcinile întregi: divizorii termenului liber

Dacă $f$ are coeficienți întregi, orice rădăcină ÎNTREAGĂ divide termenul liber. Pentru $f = X^3 - 2X^2 - 5X + 6$ : candidații sunt $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ ; testezi cu Horner sau prin calcul direct.

Ecuațiile bipătrate

$aX^4 + bX^2 + c = 0$ : notezi $t = X^2 \ge 0$ și rezolvi ecuația de gradul 2 în $t$ .

Exemplu. $X^4 - 5X^2 + 4 = 0$ : cu $t = X^2$ : $t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1$ sau $t = 4$ . Deci $X^2 = 1 \Rightarrow X = \pm 1$ și $X^2 = 4 \Rightarrow X = \pm 2$ . Patru rădăcini: $\pm1, \pm2$ .

Reține

Lanțul standard la BAC: găsești o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber → Horner → rămâi cu o ecuație de gradul 2. Trei pași, orice cubică cu rădăcină întreagă cade.

Greșeli frecvente

La bipătrate, soluțiile negative în $t$ se ARUNCĂ ( $t = X^2 \ge 0$ ), dar fiecare $t > 0$ dă DOUĂ rădăcini în $X$ .
În Horner coeficienții lipsă se scriu cu 0 (pentru $X^3 + 2X - 1$ : coeficienții 1, 0, 2, -1).
$a^3 + b^3$ are minus în paranteză ( $a^2 - ab + b^2$ ), nu plus.

Instrumente pentru lecția asta

Explorează interactiv

Se încarcă instrumentul…

Grafic de funcții

Desenează una sau mai multe funcții, mută planul și apropie ca să vezi comportamentul lor. Perfect pentru monotonie, semn și intersecții.