Limite de șiruri

Ideea de limită

Un șir $(a_n)$ are limita $L$ dacă termenii lui se apropie oricât de mult de $L$ pe măsură ce $n$ crește. Scriem $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$. Un șir cu limită finită se numește convergent.

Limitele fundamentale

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} q^n = 0 \text{ pentru } |q| < 1, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e$

Numărul $e \approx 2{,}718$ este baza logaritmului natural.

Limita unui raport de polinoame

Se compară gradele numărătorului și numitorului; regula practică: împarți forțat la puterea dominantă.

Exemplu. $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2n + 1}{n + 3} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}} = \dfrac{2}{1} = 2.$

Reguli pentru $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$:

1. grade egale: limita este raportul coeficienților dominanți;
2. gradul numărătorului mai mic: limita este $0$;
3. gradul numărătorului mai mare: limita este $\pm\infty$, cu semnul dat de coeficienții dominanți.

Exemple rezolvate

1. $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 - n}{6n^2 + 5} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ (grade egale).

2. $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n + 7}{n^2 + 1} = 0$ (numărătorul are grad mai mic).

3. $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, pentru că $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$.

Greșeli frecvente

1. $q^n \to 0$ DOAR pentru $|q| < 1$; pentru $q > 1$ șirul tinde la infinit, iar pentru $q \le -1$ nu are limită.
2. La grade egale, limita e raportul coeficienților DOMINANȚI, nu al termenilor liberi.
3. Convergent înseamnă limită FINITĂ: un șir cu limita $+\infty$ nu e convergent.