Limite de funcții, continuitate și asimptote

Limita unei funcții într-un punct

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ înseamnă: când $x$ se apropie de $a$, valorile $f(x)$ se apropie de $L$. Pentru funcțiile elementare (polinoame, exponențiale, sin, cos) limita se obține prin ÎNLOCUIRE directă: $\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 1) = 5$.

Cazul $\dfrac{0}{0}$ prin factorizare

Exemplu. $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$: înlocuirea dă $\dfrac{0}{0}$. Factorizezi:

$\lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

Regula practică: la $\dfrac{0}{0}$ cu polinoame, AMBELE se divid cu $(x - a)$: simplifică și înlocuiește din nou.

Continuitatea

$f$ e continuă în $a$ dacă $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ (limita există și coincide cu valoarea).

Exemplu tip BAC. $f(x) = \begin{cases} x + m, & x \le 1 \\ 3x - 1, & x > 1 \end{cases}$. Determină $m$ pentru continuitate în $x = 1$.

Limita la stânga: $1 + m$; la dreapta: $2$. Egalitate: $1 + m = 2 \Rightarrow m = 1$.

Asimptotele

1. Orizontală: $y = L$ dacă $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (finit). Exemplu: $f(x) = \dfrac{1}{x}$ are asimptota $y = 0$.
2. Verticală: $x = a$ dacă limita laterală în $a$ e $\pm\infty$. Exemplu: $\dfrac{1}{x}$ are asimptota $x = 0$.
3. Oblică: $y = mx + n$ cu $m = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$, $n = \lim\limits_{x \to \infty} (f(x) - mx)$, când $m$ e finit și nenul.

Exemplu. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$: $m = 1$, $n = \lim (f(x) - x) = \lim \dfrac{1}{x} = 0$, deci asimptota oblică $y = x$.

Greșeli frecvente

1. La $\frac{0}{0}$ nu concluziona "nu există": factorizează întâi.
2. Continuitatea cere egalitatea AMBELOR limite laterale cu $f(a)$.
3. Asimptota verticală se caută în punctele unde numitorul se anulează, nu la infinit.