Derivata: definiție, formule și reguli de calcul

Ce măsoară derivata

Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ măsoară viteza de variație a funcției și panta tangentei la grafic:

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Tabelul derivatelor uzuale

Regulile de derivare

$(f + g)' = f' + g', \qquad (c f)' = c f'$ $(f g)' = f' g + f g', \qquad \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' g - f g'}{g^2}$

Exemple rezolvate

1. $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5$: $f'(x) = 3x^2 - 8x$.

2. $f(x) = x^2 e^x$: produs, deci $f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(x^2 + 2x)$.

3. $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$: cât, deci $f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$.

4. Panta tangentei la $f(x) = x^2$ în $x_0 = 3$: $f'(x) = 2x$, deci $f'(3) = 6$.

Greșeli frecvente

1. $(x^n)' = n x^{n-1}$: coboară exponentul ca factor și SCADE exponentul cu 1.
2. $(\cos x)' = -\sin x$, cu minus; $(\sin x)' = \cos x$, fără.
3. La cât, ordinea la numărător e $f'g - fg'$; inversarea schimbă semnul rezultatului.