Aplicațiile derivatei: monotonie și extreme

Legătura derivată-monotonie

Pe un interval:

1. $f' > 0$ → funcția e strict CRESCĂTOARE;
2. $f' < 0$ → funcția e strict DESCRESCĂTOARE;
3. $f'$ își schimbă semnul în $x_0$ → $x_0$ e punct de EXTREM local.

Algoritmul complet (cerința standard de BAC)

1. Calculezi $f'(x)$.
2. Rezolvi $f'(x) = 0$ (punctele critice).
3. Stabilești semnul lui $f'$ pe fiecare interval.
4. Construiești tabelul de variație și citești monotonia + extremele.

Exemplu rezolvat complet

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 3x$.

Pasul 1: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

Pasul 2: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1$ și $x = 1$.

Pasul 3-4, tabelul de variație:

Concluzii: $f$ crește pe $(-\infty, -1]$ și pe $[1, \infty)$, descrește pe $[-1, 1]$; $x = -1$ e punct de MAXIM local cu $f(-1) = 2$; $x = 1$ e punct de MINIM local cu $f(1) = -2$.

Demonstrarea inegalităților cu derivata

"Arătați că $e^x \ge x + 1$ pentru orice $x$": definești $g(x) = e^x - x - 1$, calculezi $g'(x) = e^x - 1$, care se anulează în $x = 0$; $g$ descrește apoi crește, deci minimul e $g(0) = 0$, adică $g(x) \ge 0$. ✓

Greșeli frecvente

1. $f'(x_0) = 0$ NU garantează extrem: la $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ dar 0 nu e extrem (semnul nu se schimbă).
2. Tabelul de variație fără semnul derivatei = punctaj pierdut.
3. Intervalele de monotonie se scriu cu capetele incluse unde funcția e definită și continuă.