Capitolul 13 · Lecția 13.2 din 2

Aplicațiile derivatei: monotonie și extreme

Tabelul de variație, intervalele de monotonie și punctele de extrem, pas cu pas.

Capitolul 13: Derivate și aplicațiiConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Pe un interval, $f' > 0$ înseamnă funcție strict crescătoare, iar $f' < 0$ strict descrescătoare.
Dacă $f'$ își schimbă semnul în $x_0$ , atunci $x_0$ este punct de extrem local.
Algoritmul: calculezi $f'$ , rezolvi $f'(x) = 0$ , stabilești semnul lui $f'$ pe intervale și construiești tabelul de variație.
Inegalitățile se demonstrează cu o funcție auxiliară, ca $g(x) = e^x - x - 1$ , al cărei minim se arată că este $0$ .

Pe această pagină5 secțiuni

Legătura derivată-monotonie

Pe un interval:

$f' > 0$ → funcția e strict CRESCĂTOARE;
$f' < 0$ → funcția e strict DESCRESCĂTOARE;
$f'$ își schimbă semnul în $x_0$ → $x_0$ e punct de EXTREM local.

Algoritmul complet (cerința standard de BAC)

Calculezi $f'(x)$ .
Rezolvi $f'(x) = 0$ (punctele critice).
Stabilești semnul lui $f'$ pe fiecare interval.
Construiești tabelul de variație și citești monotonia + extremele.

Exemplu rezolvat complet

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^3 - 3x$ .

Pasul 1: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ .

Pasul 2: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1$ și $x = 1$ .

Pasul 3-4, tabelul de variație:

$x$	$-\infty$	$-1$		$1$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	$2$	↘	$-2$	↗

Concluzii: $f$ crește pe $(-\infty, -1]$ și pe $[1, \infty)$ , descrește pe $[-1, 1]$ ; $x = -1$ e punct de MAXIM local cu $f(-1) = 2$ ; $x = 1$ e punct de MINIM local cu $f(1) = -2$ .

Demonstrarea inegalităților cu derivata

"Arătați că $e^x \ge x + 1$ pentru orice $x$ ": definești $g(x) = e^x - x - 1$ , calculezi $g'(x) = e^x - 1$ , care se anulează în $x = 0$ ; $g$ descrește apoi crește, deci minimul e $g(0) = 0$ , adică $g(x) \ge 0$ . ✓

Reține

Punctul de extrem este VALOAREA lui x (abscisa); extremul funcției este f(x) (ordonata). La BAC se punctează distincția.

Greșeli frecvente

$f'(x_0) = 0$ NU garantează extrem: la $f(x) = x^3$ , $f'(0) = 0$ dar 0 nu e extrem (semnul nu se schimbă).
Tabelul de variație fără semnul derivatei = punctaj pierdut.
Intervalele de monotonie se scriu cu capetele incluse unde funcția e definită și continuă.

Instrumente pentru lecția asta

Grafic de funcții

Desenează una sau mai multe funcții, mută planul și apropie ca să vezi comportamentul lor. Perfect pentru monotonie, semn și intersecții.

Se încarcă instrumentul…

Bifează când ai terminat, ca s-o vezi citită pe toate dispozitivele.

Testează-te pe capitolul 13

Lecția în clipuri

Clipuri scurte, cu voce și subtitrări.