Primitive și integrala nedefinită

Ce este o primitivă

$F$ este o primitivă a lui $f$ pe un interval dacă $F' = f$. Mulțimea tuturor primitivelor este integrala nedefinită:

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

Constanta $C$ apare pentru că derivata oricărei constante e zero.

Tabelul integralelor uzuale

Liniaritatea

$\int (f + g) = \int f + \int g, \qquad \int c f = c \int f$

Exemple rezolvate

1. $\displaystyle\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C$. Verificare: $(x^2 + x)' = 2x + 1$. ✓

2. $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$.

3. $\displaystyle\int \left(e^x + \dfrac{2}{x}\right) dx = e^x + 2 \ln \lvert x \rvert + C$.

4. Găsește primitiva lui $f(x) = 2x$ care trece prin punctul $(1, 5)$.

$F(x) = x^2 + C$; din $F(1) = 5$ rezultă $1 + C = 5$, deci $C = 4$ și $F(x) = x^2 + 4$.

Greșeli frecvente

1. Nu uita constanta $C$ la integrala nedefinită; la BAC se punctează.
2. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$, cu minus (invers decât la derivare).
3. Formula puterii NU merge pentru $n = -1$: acolo apare logaritmul.