Capitolul 14 · Lecția 14.1 din 2

Primitive și integrala nedefinită

Noțiunea de primitivă, tabelul integralelor uzuale și calculul integralelor simple.

Capitolul 14: Integrale și aplicațiiConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

$F$ este primitivă a lui $f$ pe un interval dacă $F' = f$ , iar integrala nedefinită este $F(x) + C$ .
Constanta $C$ apare pentru că derivata oricărei constante este zero.
Integrale uzuale: $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pentru $n \ne -1$ , $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ , $\int e^x dx = e^x + C$ .
Primitiva care trece printr-un punct dat se află înlocuind coordonatele punctului și calculând constanta $C$ .

Pe această pagină5 secțiuni

Ce este o primitivă

$F$ este o primitivă a lui $f$ pe un interval dacă $F' = f$ . Mulțimea tuturor primitivelor este integrala nedefinită:

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

Constanta $C$ apare pentru că derivata oricărei constante e zero.

Tabelul integralelor uzuale

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$x^n$ , $n \ne -1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln \lvert x \rvert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$

Liniaritatea

$\int (f + g) = \int f + \int g, \qquad \int c f = c \int f$

Exemple rezolvate

1. $\displaystyle\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C$ . Verificare: $(x^2 + x)' = 2x + 1$ . ✓

2. $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$ .

3. $\displaystyle\int \left(e^x + \dfrac{2}{x}\right) dx = e^x + 2 \ln \lvert x \rvert + C$ .

4. Găsește primitiva lui $f(x) = 2x$ care trece prin punctul $(1, 5)$ .

$F(x) = x^2 + C$ ; din $F(1) = 5$ rezultă $1 + C = 5$ , deci $C = 4$ și $F(x) = x^2 + 4$ .

Reține

Integrarea e operația inversă derivării: poți verifica ORICE integrală derivând rezultatul. La BAC, verificarea prin derivare previne greșelile de calcul.

Greșeli frecvente

Nu uita constanta $C$ la integrala nedefinită; la BAC se punctează.
$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ , cu minus (invers decât la derivare).
Formula puterii NU merge pentru $n = -1$ : acolo apare logaritmul.

Instrumente pentru lecția asta

Grafic de funcții

Desenează una sau mai multe funcții, mută planul și apropie ca să vezi comportamentul lor. Perfect pentru monotonie, semn și intersecții.

Se încarcă instrumentul…

Bifează când ai terminat, ca s-o vezi citită pe toate dispozitivele.

Testează-te pe capitolul 14

Lecția în clipuri

Clipuri scurte, cu voce și subtitrări.