Integrala definită și calculul ariilor

Formula Leibniz-Newton

Dacă $F$ e o primitivă a lui $f$ pe $[a, b]$:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Exemple rezolvate

1. $\displaystyle\int_0^1 x^2 \, dx = \left. \dfrac{x^3}{3} \right|_0^1 = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}$.

2. $\displaystyle\int_1^2 (2x + 1) \, dx = \left. (x^2 + x) \right|_1^2 = 6 - 2 = 4$.

3. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_0^{\pi} = 1 + 1 = 2$.

Proprietăți utile

$\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g, \qquad \int_a^b c f = c \int_a^b f$ $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \quad (\text{aditivitatea la interval})$

Aria subgraficului

Pentru $f$ CONTINUĂ și POZITIVĂ pe $[a, b]$, aria mulțimii cuprinse între grafic, axa $Ox$ și dreptele $x = a$, $x = b$:

$\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx$

Exemplu. Aria subgraficului lui $f(x) = x^2$ pe $[0, 1]$ este $\dfrac{1}{3}$ (calculată mai sus).

Dacă $f$ e negativă pe interval, aria e $-\int_a^b f$; în general $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$.

Aria dintre două grafice

$\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx \quad \text{unde } f \ge g \text{ pe } [a,b]$

Exemplu. Aria dintre $f(x) = x$ și $g(x) = x^2$ pe $[0, 1]$: $\displaystyle\int_0^1 (x - x^2) dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.

Greșeli frecvente

1. Ordinea în Leibniz-Newton: $F(b) - F(a)$, nu invers; inversarea schimbă semnul.
2. Aria e mereu POZITIVĂ: dacă integrala iese negativă, funcția era negativă pe interval, ia modulul.
3. La aria dintre grafice, verifică ÎNTÂI care funcție e deasupra.