Combinatorică și probabilități

Permutări

Numărul de moduri de a ordona $n$ obiecte distincte:

$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$

Exemplu. 4 elevi se așază pe 4 scaune: $4! = 24$ de moduri.

Aranjamente

Alegem și ORDONĂM $k$ obiecte din $n$:

$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$

Exemplu. Câte numere de 2 cifre distincte se formează cu cifrele 1-5? $A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20$.

Combinări

Alegem $k$ obiecte din $n$ FĂRĂ să conteze ordinea:

$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Exemplu. Câte echipe de 2 elevi se formează din 5? $C_5^2 = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Proprietăți utile: $C_n^k = C_n^{n-k}$, $C_n^0 = C_n^n = 1$.

Probabilitatea clasică

$P = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$

Exemplu 1. Probabilitatea ca la aruncarea unui zar să obținem un număr par: cazuri favorabile {2, 4, 6}, deci $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Exemplu 2. Dintr-o urnă cu 3 bile albe și 7 negre extragem o bilă. $P(\text{albă}) = \dfrac{3}{10}$.

Exemplu 3. Probabilitatea ca un element $n \in \{1, 2, \ldots, 10\}$ să verifice $n^2 \le 20$: favorabile {1, 2, 3, 4}, deci $P = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.

Greșeli frecvente

1. $0! = 1$, prin convenție.
2. La probabilitate, numără TOATE cazurile posibile corect (spațiul total).
3. $C_n^k$ cere $0 \le k \le n$; altfel valoarea e 0.