Binomul lui Newton

Formula binomului

$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \ldots + C_n^n b^n$

Termenul general (al $(k+1)$-lea, numerotarea de la $k = 0$):

$T_{k+1} = C_n^k \, a^{n-k} \, b^k$

Exemplu: dezvoltare completă

$(x + 2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 4 + C_4^3 x \cdot 8 + C_4^4 \cdot 16$ $= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

Verificare rapidă: suma coeficienților se obține cu $x = 1$: $3^4 = 81 = 1 + 8 + 24 + 32 + 16$ ✓.

Tiparul de BAC: termenul care conține $x^p$

Exemplu. Găsește termenul care conține $x^3$ din dezvoltarea $(x + 2)^5$.

$T_{k+1} = C_5^k x^{5-k} 2^k$; cer $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$:

$T_3 = C_5^2 \cdot x^3 \cdot 4 = 10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$

Identitățile esențiale

1. Suma tuturor coeficienților binomiali (pui $a = b = 1$): $C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n$
2. Suma alternată (pui $a = 1, b = -1$): $C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots = 0$.
3. Consecință: suma celor de rang par = suma celor de rang impar $= 2^{n-1}$.

Exemplu. $C_6^0 + C_6^1 + \ldots + C_6^6 = 2^6 = 64$.

Numărul de termeni

Dezvoltarea lui $(a+b)^n$ are $n + 1$ termeni; termenul "din mijloc" există doar pentru $n$ par ($T_{n/2+1}$).

Greșeli frecvente

1. Exponentul lui $b$ este $k$, al lui $a$ este $n-k$: nu invers.
2. La $(x - 2)^n$, $b = -2$: semnul intră în puterea $b^k$ (termenii alternează).
3. Suma coeficienților DEZVOLTĂRII se obține cu $x = 1$ (include puterile lui 2 din exemplu), diferită de suma coeficienților binomiali.