Elemente de statistică

Culegerea și organizarea datelor

Datele se organizează într-un tabel de frecvențe, care arată de câte ori apare fiecare valoare.

Suma frecvențelor dă numărul total de date: aici $2 + 5 + 3 = 10$.

Frecvența relativă e $\dfrac{f_i}{n}$, adesea exprimată procentual. Suma frecvențelor relative e mereu 1, adică 100%.

Reprezentări grafice folosite: diagrama cu bare, histograma, diagrama circulară, poligonul frecvențelor.

Parametrii de poziție

Media aritmetică: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Când datele au frecvențe, se folosește media ponderată: $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}$

Pentru tabelul de mai sus: $\dfrac{4 \cdot 2 + 6 \cdot 5 + 8 \cdot 3}{10} = \dfrac{8 + 30 + 24}{10} = 6{,}2$.

Mediana e valoarea din mijloc, după ce datele sunt ordonate crescător. Dacă numărul de date e par, mediana e media celor două valori din mijloc.

Modul e valoarea cu frecvența cea mai mare. În exemplu, modul e 6.

Când folosești mediana în loc de media

Media e sensibilă la valori extreme. Pentru datele 2, 3, 3, 4, 100:

• media este $\dfrac{112}{5} = 22{,}4$, adică mai mare decât patru dintre cele cinci valori;
• mediana este 3, care descrie mult mai bine grupul.

De aceea, când există valori atipice, mediana e indicatorul mai potrivit.

Parametrii de împrăștiere

Dispersia (varianța) măsoară cât de departe sunt datele de medie:

$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Abaterea standard e rădăcina dispersiei: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

Se ridică la pătrat pentru ca abaterile negative să nu le anuleze pe cele pozitive. Suma abaterilor simple $\sum(x_i - \bar{x})$ e mereu zero, deci nu ar spune nimic.

Abaterea standard are aceeași unitate de măsură ca datele, spre deosebire de dispersie, care are unitatea la pătrat. De aceea e mai ușor de interpretat.

Amplitudinea e diferența dintre valoarea maximă și cea minimă.

Exemplu complet

Date: 2, 4, 4, 6, 9.

• media: $\dfrac{25}{5} = 5$;
• mediana: valoarea din mijloc, adică 4;
• modul: 4;
• dispersia: $\dfrac{9 + 1 + 1 + 1 + 16}{5} = \dfrac{28}{5} = 5{,}6$;
• abaterea standard: $\sqrt{5{,}6} \approx 2{,}37$;
• amplitudinea: $9 - 2 = 7$.

Greșeli frecvente

1. Se calculează mediana fără a ordona datele.
2. Se uită ponderarea cu frecvențele la calculul mediei.
3. Se confundă dispersia cu abaterea standard. Abaterea standard e radicalul dispersiei.
4. Se crede că modul e mereu unic. Pot exista mai multe valori cu aceeași frecvență maximă.