Experiment, probă, eveniment

Un experiment aleator are mai multe rezultate posibile, iar rezultatul nu poate fi prevăzut cu certitudine. Aruncarea unui zar e exemplul standard.

Spațiul de selecție $\Omega$ e mulțimea tuturor rezultatelor posibile. La un zar, $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ .

Un eveniment e o submulțime a lui $\Omega$ . „Apare un număr par" înseamnă $A = \{2,4,6\}$ .

Tip	Ce înseamnă	Probabilitate
Sigur	se produce întotdeauna ( $\Omega$ )	1
Imposibil	nu se produce niciodată ( $\emptyset$ )	0
Aleator	se poate produce sau nu	între 0 și 1

Definiția clasică

Când toate rezultatele sunt egal probabile:

$P(A) = \frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$

Pentru „număr par la zar": $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Condiția de egală probabilitate e esențială. Formula nu se aplică unui zar măsluit.

Din definiție rezultă că $0 \le P(A) \le 1$ mereu. Un rezultat negativ sau supraunitar semnalează o greșeală de calcul.

Operații cu evenimente

Operație	Notație	Se citește
Reuniune	$A \cup B$	A sau B
Intersecție	$A \cap B$	A și B
Contrar	$\bar{A}$	non A

Evenimentul contrar: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

E cea mai utilă formulă la examen. Când „cel puțin unul" e greu de numărat direct, calculezi probabilitatea evenimentului contrar, „niciunul", și scazi din 1.

Reuniunea: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Se scade intersecția pentru că altfel elementele comune ar fi numărate de două ori.

Dacă evenimentele sunt incompatibile, adică $A \cap B = \emptyset$ , formula devine $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Exemplu

La o aruncare cu zarul, fie $A$ = „număr par" $= \{2,4,6\}$ și $B$ = „număr mai mare ca 3" $= \{4,5,6\}$ .

$P(A) = \dfrac{3}{6}$ , $P(B) = \dfrac{3}{6}$ ;
$A \cap B = \{4,6\}$ , deci $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6}$ ;
$P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ .

Verificare directă: $A \cup B = \{2,4,5,6\}$ , deci 4 cazuri din 6. Corect.

Legătura cu combinatorica

La probleme cu extrageri, numărul de cazuri se calculează cu combinări, pentru că ordinea nu contează:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Exemplu: dintr-o urnă cu 5 bile albe și 3 negre se extrag 2 bile. Probabilitatea ca ambele să fie albe:

$P = \frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

Greșeli frecvente

Se adună probabilitățile la reuniune fără a scădea intersecția.
Se folosesc aranjamente în loc de combinări la extrageri simultane, unde ordinea nu contează.
Se obțin probabilități mai mari ca 1, semn sigur de eroare.
Se aplică definiția clasică unor cazuri care nu sunt egal probabile.

Evenimente aleatoare și probabilități