Conjugatul, modulul și împărțirea

Conjugatul

Conjugatul lui $z = a + bi$ este $\overline{z} = a - bi$. Proprietatea esențială:

$z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$

adică un număr real pozitiv. De aceea conjugatul este unealta pentru împărțire.

Modulul

Modulul lui $z = a + bi$ este distanța de la origine la punctul $(a, b)$:

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Exemplu: $|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Împărțirea

Amplificăm cu conjugatul numitorului:

$\dfrac{5 + i}{1 - i} = \dfrac{(5 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{5 + 5i + i + i^2}{1 + 1} = \dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i.$

Puterile lui i

Se repetă cu perioada 4:

$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1$

Pentru $i^n$ împarți $n$ la 4 și folosești restul: $i^{2023}$ are $2023 = 4 \cdot 505 + 3$, deci $i^{2023} = i^3 = -i$.

Exemplu rezolvat

Calculează $z = \dfrac{2 + i}{1 + i} + i^{10}$.

Prima fracție: $\dfrac{(2+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{2 - 2i + i - i^2}{2} = \dfrac{3 - i}{2}$.

Apoi $i^{10} = i^{4 \cdot 2 + 2} = i^2 = -1$. Deci $z = \dfrac{3 - i}{2} - 1 = \dfrac{1 - i}{2}$.

Greșeli frecvente

1. La împărțire se amplifică cu conjugatul NUMITORULUI, nu al numărătorului.
2. $|z|^2 = a^2 + b^2$, fără radical: nu confunda modulul cu pătratul lui.
3. Restul împărțirii la 4 decide puterea lui $i$; restul 0 dă $i^0 = 1$.