Conjugatul, modulul și împărțirea Conjugatul unui număr complex, modulul, împărțirea și puterile lui i.
Capitolul 7: Numere complexe Conținut verificat
Pe scurt pentru BAC · 4 idei Conjugatul lui z = a + b i z = a + bi z = a + bi z ‾ = a − b i \overline{z} = a - bi z = a − bi z ⋅ z ‾ = a 2 + b 2 z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 z ⋅ z = a 2 + b 2 Modulul ∣ z ∣ = a 2 + b 2 |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ∣ z ∣ = a 2 + b 2 ( a , b ) (a, b) ( a , b ) Ca să împarți două numere complexe, amplifici fracția cu conjugatul numitorului, care devine astfel real. Puterile lui i i i i n i^n i n n n n Pe această pagină 6 secțiuni Conjugatul Modulul Împărțirea Puterile lui i Exemplu rezolvat Greșeli frecvente Conjugatul
Conjugatul lui z = a + b i z = a + bi z = a + bi z ‾ = a − b i \overline{z} = a - bi z = a − bi
z ⋅ z ‾ = a 2 + b 2 z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 z ⋅ z = a 2 + b 2
adică un număr real pozitiv. De aceea conjugatul este unealta pentru împărțire.
Modulul
Modulul lui z = a + b i z = a + bi z = a + bi ( a , b ) (a, b) ( a , b )
∣ z ∣ = a 2 + b 2 |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ∣ z ∣ = a 2 + b 2
Exemplu: ∣ 3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5 |3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5 ∣3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5
Împărțirea
Amplificăm cu conjugatul numitorului:
5 + i 1 − i = ( 5 + i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) = 5 + 5 i + i + i 2 1 + 1 = 4 + 6 i 2 = 2 + 3 i . \dfrac{5 + i}{1 - i} = \dfrac{(5 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{5 + 5i + i + i^2}{1 + 1} = \dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i. 1 − i 5 + i = ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 5 + i ) ( 1 + i ) = 1 + 1 5 + 5 i + i + i 2 = 2 4 + 6 i = 2 + 3 i .
Puterile lui i
Se repetă cu perioada 4:
i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1 i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1
Pentru i n i^n i n n n n i 2023 i^{2023} i 2023 2023 = 4 ⋅ 505 + 3 2023 = 4 \cdot 505 + 3 2023 = 4 ⋅ 505 + 3 i 2023 = i 3 = − i i^{2023} = i^3 = -i i 2023 = i 3 = − i
Exemplu rezolvat
Calculează z = 2 + i 1 + i + i 10 z = \dfrac{2 + i}{1 + i} + i^{10} z = 1 + i 2 + i + i 10
Prima fracție: ( 2 + i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 2 − 2 i + i − i 2 2 = 3 − i 2 \dfrac{(2+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{2 - 2i + i - i^2}{2} = \dfrac{3 - i}{2} ( 1 + i ) ( 1 − i ) ( 2 + i ) ( 1 − i ) = 2 2 − 2 i + i − i 2 = 2 3 − i
Apoi i 10 = i 4 ⋅ 2 + 2 = i 2 = − 1 i^{10} = i^{4 \cdot 2 + 2} = i^2 = -1 i 10 = i 4 ⋅ 2 + 2 = i 2 = − 1 z = 3 − i 2 − 1 = 1 − i 2 z = \dfrac{3 - i}{2} - 1 = \dfrac{1 - i}{2} z = 2 3 − i − 1 = 2 1 − i
Greșeli frecvente
La împărțire se amplifică cu conjugatul NUMITORULUI, nu al numărătorului.
∣ z ∣ 2 = a 2 + b 2 |z|^2 = a^2 + b^2 ∣ z ∣ 2 = a 2 + b 2 Restul împărțirii la 4 decide puterea lui i i i i 0 = 1 i^0 = 1 i 0 = 1