Formule trigonometrice: sumă, diferență și unghi dublu

Formulele pentru sumă și diferență

$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

Reguli de memorare: la sinus, funcțiile se amestecă (sin·cos + cos·sin) și semnul se păstrează; la cosinus, funcțiile rămân grupate (cos·cos, sin·sin) și semnul se inversează.

Formulele unghiului dublu

Punând $b = a$ în formulele de sumă:

$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$ $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$

Cele trei forme ale lui $\cos 2a$ se obțin una din alta cu identitatea fundamentală și sunt toate utile: alegi forma care conține funcția pe care o cunoști.

Exemple rezolvate

1. Calculează $\sin 75^\circ$.

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$

2. Știind că $\cos a = \dfrac{3}{5}$ și $a \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$, calculează $\sin 2a$ și $\cos 2a$.

Din identitatea fundamentală, $\sin a = \dfrac{4}{5}$ (pozitiv în cadranul I). Atunci:

$\sin 2a = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25}, \qquad \cos 2a = 2 \cdot \dfrac{9}{25} - 1 = -\dfrac{7}{25}.$

3. Arată că $\cos^2 \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$.

Din $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$ cu $a = \dfrac{\pi}{8}$: $\cos \dfrac{\pi}{4} = 2\cos^2 \dfrac{\pi}{8} - 1$, deci $\cos^2 \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}$.

Greșeli frecvente

1. La $\cos(a+b)$ semnul din mijloc se INVERSEAZĂ: plus în unghi înseamnă minus între produse.
2. $\sin 2a \ne 2 \sin a$: verifică pe $a = \dfrac{\pi}{2}$, unde $\sin \pi = 0$ dar $2\sin\dfrac{\pi}{2} = 2$.
3. Înainte de a aplica unghiul dublu, determină funcția lipsă (sin sau cos) cu identitatea fundamentală, cu semn ales după cadran.

Vizualizează mai jos graficele funcțiilor sinus și cosinus și observă cum $\sin 2x$ oscilează de două ori mai repede.