Formulele pentru sumă și diferență
sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
Reguli de memorare: la sinus, funcțiile se amestecă (sin·cos + cos·sin) și semnul se păstrează; la cosinus, funcțiile rămân grupate (cos·cos, sin·sin) și semnul se inversează.
Formulele unghiului dublu
Punând b = a b = a b = a
sin 2 a = 2 sin a cos a \sin 2a = 2 \sin a \cos a sin 2 a = 2 sin a cos a cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
Cele trei forme ale lui cos 2 a \cos 2a cos 2 a
Exemple rezolvate
1. Calculează sin 75 ∘ \sin 75^\circ sin 7 5 ∘
sin 75 ∘ = sin ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = sin 45 ∘ cos 30 ∘ + cos 45 ∘ sin 30 ∘ = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 . \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. sin 7 5 ∘ = sin ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 2 .
2. Știind că cos a = 3 5 \cos a = \dfrac{3}{5} cos a = 5 3 a ∈ ( 0 , π 2 ) a \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) a ∈ ( 0 , 2 π ) sin 2 a \sin 2a sin 2 a cos 2 a \cos 2a cos 2 a
Din identitatea fundamentală, sin a = 4 5 \sin a = \dfrac{4}{5} sin a = 5 4
sin 2 a = 2 ⋅ 4 5 ⋅ 3 5 = 24 25 , cos 2 a = 2 ⋅ 9 25 − 1 = − 7 25 . \sin 2a = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25}, \qquad \cos 2a = 2 \cdot \dfrac{9}{25} - 1 = -\dfrac{7}{25}. sin 2 a = 2 ⋅ 5 4 ⋅ 5 3 = 25 24 , cos 2 a = 2 ⋅ 25 9 − 1 = − 25 7 .
3. Arată că cos 2 π 8 = 2 + 2 4 \cos^2 \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} cos 2 8 π = 4 2 + 2
Din cos 2 a = 2 cos 2 a − 1 \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 cos 2 a = 2 cos 2 a − 1 a = π 8 a = \dfrac{\pi}{8} a = 8 π cos π 4 = 2 cos 2 π 8 − 1 \cos \dfrac{\pi}{4} = 2\cos^2 \dfrac{\pi}{8} - 1 cos 4 π = 2 cos 2 8 π − 1 cos 2 π 8 = 1 + 2 2 2 = 2 + 2 4 \cos^2 \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} cos 2 8 π = 2 1 + 2 2 = 4 2 + 2
Greșeli frecvente
La cos ( a + b ) \cos(a+b) cos ( a + b )
sin 2 a ≠ 2 sin a \sin 2a \ne 2 \sin a sin 2 a = 2 sin a a = π 2 a = \dfrac{\pi}{2} a = 2 π sin π = 0 \sin \pi = 0 sin π = 0 2 sin π 2 = 2 2\sin\dfrac{\pi}{2} = 2 2 sin 2 π = 2 Înainte de a aplica unghiul dublu, determină funcția lipsă (sin sau cos) cu identitatea fundamentală, cu semn ales după cadran.
Vizualizează mai jos graficele funcțiilor sinus și cosinus și observă cum sin 2 x \sin 2x sin 2 x