Cercul trigonometric și radianii

Cercul trigonometric

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în originea reperului cartezian și raza $1$. Pe el măsurăm unghiurile pornind de la semiaxa pozitivă $Ox$, în sens invers acelor de ceasornic (sensul trigonometric).

Punctul de pe cerc corespunzător unghiului $t$ are coordonatele:

$M(t) = (\cos t, \; \sin t)$

Adică: cosinusul este abscisa punctului, iar sinusul este ordonata lui. Aceasta este definiția modernă a celor două funcții și motivul pentru care amândouă iau valori doar în intervalul $[-1, 1]$.

Radianul

Un radian este măsura unghiului la centru care subîntinde un arc de lungime egală cu raza. Legătura cu gradele vine din faptul că un cerc întreg are $360^\circ$ și $2\pi$ radiani:

$180^\circ = \pi \text{ radiani}$

Conversii utile:

Regula practică: din grade în radiani înmulțești cu $\dfrac{\pi}{180}$; din radiani în grade înmulțești cu $\dfrac{180}{\pi}$.

Cadranele și semnele

Axele împart cercul în patru cadrane. Semnele funcțiilor se citesc direct din coordonate:

Exemplu rezolvat

Transformă $150^\circ$ în radiani și stabilește semnul sinusului și cosinusului.

$150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$. Unghiul este în cadranul II, deci $\sin \dfrac{5\pi}{6} > 0$ și $\cos \dfrac{5\pi}{6} < 0$.

Greșeli frecvente

1. Sensul pozitiv pe cerc este invers acelor de ceasornic; unghiurile negative merg în sensul acelor.
2. Nu confunda coordonatele: cosinusul este PRIMA coordonată (abscisa), sinusul a doua (ordonata).
3. $\pi$ radiani înseamnă $180^\circ$, nu $360^\circ$: e cea mai frecventă sursă de conversii greșite.

Folosește instrumentul interactiv de mai jos: trage punctul pe cerc și urmărește cum se schimbă valorile și semnele în fiecare cadran.