Cercul trigonometric

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în originea reperului cartezian și raza $1$ . Pe el măsurăm unghiurile pornind de la semiaxa pozitivă $Ox$ , în sens invers acelor de ceasornic (sensul trigonometric).

Punctul de pe cerc corespunzător unghiului $t$ are coordonatele:

$M(t) = (\cos t, \; \sin t)$

Adică: cosinusul este abscisa punctului, iar sinusul este ordonata lui. Aceasta este definiția modernă a celor două funcții și motivul pentru care amândouă iau valori doar în intervalul $[-1, 1]$ .

Radianul

Un radian este măsura unghiului la centru care subîntinde un arc de lungime egală cu raza. Legătura cu gradele vine din faptul că un cerc întreg are $360^\circ$ și $2\pi$ radiani:

$180^\circ = \pi \text{ radiani}$

Conversii utile:

grade	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
radiani	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Regula practică: din grade în radiani înmulțești cu $\dfrac{\pi}{180}$ ; din radiani în grade înmulțești cu $\dfrac{180}{\pi}$ .

Cadranele și semnele

Axele împart cercul în patru cadrane. Semnele funcțiilor se citesc direct din coordonate:

Cadran	intervalul lui $t$	$\sin t$	$\cos t$
I	$\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$	$+$	$+$
II	$\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$	$+$	$-$
III	$\left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)$	$-$	$-$
IV	$\left(\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$	$-$	$+$

Exemplu rezolvat

Transformă $150^\circ$ în radiani și stabilește semnul sinusului și cosinusului.

$150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$ . Unghiul este în cadranul II, deci $\sin \dfrac{5\pi}{6} > 0$ și $\cos \dfrac{5\pi}{6} < 0$ .

Greșeli frecvente

Sensul pozitiv pe cerc este invers acelor de ceasornic; unghiurile negative merg în sensul acelor.
Nu confunda coordonatele: cosinusul este PRIMA coordonată (abscisa), sinusul a doua (ordonata).
$\pi$ radiani înseamnă $180^\circ$ , nu $360^\circ$ : e cea mai frecventă sursă de conversii greșite.

Folosește instrumentul interactiv de mai jos: trage punctul pe cerc și urmărește cum se schimbă valorile și semnele în fiecare cadran.

Cercul trigonometric și radianii