Capitolul 3 · Lecția 3.2 din 2

Ecuații iraționale și ecuații cu modul

Condițiile de existență, ridicarea la pătrat și cele două cazuri ale modulului.

Capitolul 3: Funcții elementareConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Ridicarea la pătrat poate introduce soluții false, deci verificarea fiecărei soluții face parte din rezolvare.
Definiția modulului: $|a| = a$ dacă $a \ge 0$ și $|a| = -a$ dacă $a < 0$ .
O soluție obținută după ridicarea la pătrat se elimină dacă nu respectă condiția $g(x) \ge 0$ , ca $x = -3$ la $\sqrt{x + 7} = x + 1$ .
La $|x - 3| = |x + 1|$ poți gândi cu distanțe: $x$ e la mijloc între 3 și -1, deci $x = 1$ .

Pe această pagină3 secțiuni

Ecuații iraționale (cu radical)

Pașii obligatorii pentru $\sqrt{f(x)} = g(x)$ :

Condiții: $f(x) \ge 0$ și $g(x) \ge 0$ (radicalul e nenegativ);
Ridici la pătrat: $f(x) = g(x)^2$ ;
Rezolvi și VERIFICI soluțiile în condiții.

Exemplu. $\sqrt{x + 2} = 3$ : condiție $x \ge -2$ ; ridic la pătrat: $x + 2 = 9 \Rightarrow x = 7$ . Verificare: $\sqrt{9} = 3$ ✓.

Exemplu cu capcană. $\sqrt{x + 7} = x + 1$ : condiții $x \ge -7$ și $x \ge -1$ . Pătrat: $x + 7 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ sau $x = -3$ . Dar $x = -3$ NU respectă $x \ge -1$ : se ELIMINĂ. Soluția: $x = 2$ . Verificare: $\sqrt{9} = 3 = 2 + 1$ ✓.

Ecuații cu modul

Definiția modulului: $|a| = a$ dacă $a \ge 0$ , $|a| = -a$ dacă $a < 0$ .

Pentru $|f(x)| = c$ cu $c > 0$ : două cazuri, $f(x) = c$ sau $f(x) = -c$ .

Exemplu. $|2x - 1| = 5$ : $2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$ sau $2x - 1 = -5 \Rightarrow x = -2$ . Ambele valide.

Exemplu 2. $|x - 3| = |x + 1|$ : distanțe egale față de 3 și -1, deci $x$ e la mijloc: $x = 1$ . (Sau: cazuri / ridicare la pătrat.)

Cazuri speciale: $|f(x)| = 0 \iff f(x) = 0$ ; $|f(x)| = c < 0$ nu are soluții.

Atenție

Ridicarea la pătrat poate INTRODUCE soluții false: verificarea finală în ecuația inițială e parte din rezolvare, nu opțională.

Reține

La $\sqrt{f(x)} = g(x)$ : condițiile $f(x) \ge 0$ și $g(x) \ge 0$ , ridicarea la pătrat, apoi verificarea fiecărei soluții. La $|f(x)| = c$ : două cazuri dacă $c > 0$ , doar $f(x) = 0$ dacă $c = 0$ , nicio soluție dacă $c < 0$ . Și nu uita: $\sqrt{x^2} = |x|$ .

Greșeli frecvente

Uitarea condiției $g(x) \ge 0$ : $\sqrt{x} = -2$ nu are soluții, oricât ar "ieși" la pătrat.
$|x| = 5$ are DOUĂ soluții: nu uita cazul negativ.
$\sqrt{x^2} = |x|$ , nu $x$ .