Funcția exponențială și logaritmul

Funcția exponențială

$f : \mathbb{R} \to (0, \infty)$, $f(x) = a^x$ cu $a > 0$, $a \ne 1$.

1. pentru $a > 1$: strict CRESCĂTOARE (exemplu $2^x$);
2. pentru $0 < a < 1$: strict DESCRESCĂTOARE (exemplu $(1/2)^x$);
3. ia doar valori strict pozitive: $a^x > 0$ pentru orice $x$.

Reguli de calcul: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, $(a^x)^y = a^{xy}$.

Logaritmul

$\log_a b$ = puterea la care ridic baza $a$ ca să obțin $b$:

$\log_a b = c \iff a^c = b \qquad (a > 0, a \ne 1, b > 0)$

Exemple. $\log_2 8 = 3$ pentru că $2^3 = 8$; $\log_3 \dfrac{1}{9} = -2$; $\lg 100 = 2$ (baza 10).

Proprietăți:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a x^n = n \log_a x$

Ecuații tip BAC

1. Exponențială. $2^{x+1} = 16 \Rightarrow 2^{x+1} = 2^4 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$.

2. Logaritmică. $\log_3(2x - 1) = 2 \Rightarrow 2x - 1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 5$. Verificare condiție: $2x - 1 > 0$ ✓.

3. Cu proprietăți. $\lg x + \lg 4 = \lg 20 \Rightarrow \lg 4x = \lg 20 \Rightarrow x = 5$.

Greșeli frecvente

1. $\log_a(x + y) \ne \log_a x + \log_a y$: proprietatea e pentru PRODUS, nu sumă.
2. Exponențiala nu se anulează niciodată: $a^x = 0$ nu are soluții.
3. Baza logaritmului: pozitivă și diferită de 1.