Capitolul 3 · Lecția 3.1 din 2

Funcția exponențială și logaritmul

Proprietățile exponențialei și logaritmului, ecuații exponențiale și logaritmice de bază.

Capitolul 3: Funcții elementareConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Exponențiala $f(x) = a^x$ , cu $a > 0$ , $a \ne 1$ , are codomeniul $(0, \infty)$ .
Reguli pentru puteri: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ , $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$ și $(a^x)^y = a^{xy}$ .
Logaritmul transformă produsul în sumă și câtul în diferență, iar exponentul iese în față: $\log_a x^n = n \log_a x$ .
La ecuațiile exponențiale aduci ambii membri la aceeași bază și egalezi exponenții, ca la $2^{x+1} = 2^4$ .

Pe această pagină4 secțiuni

Funcția exponențială

$f : \mathbb{R} \to (0, \infty)$ , $f(x) = a^x$ cu $a > 0$ , $a \ne 1$ .

pentru $a > 1$ : strict CRESCĂTOARE (exemplu $2^x$ );
pentru $0 < a < 1$ : strict DESCRESCĂTOARE (exemplu $(1/2)^x$ );
ia doar valori strict pozitive: $a^x > 0$ pentru orice $x$ .

Reguli de calcul: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ , $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ .

Logaritmul

$\log_a b$ = puterea la care ridic baza $a$ ca să obțin $b$ :

$\log_a b = c \iff a^c = b \qquad (a > 0, a \ne 1, b > 0)$

Exemple. $\log_2 8 = 3$ pentru că $2^3 = 8$ ; $\log_3 \dfrac{1}{9} = -2$ ; $\lg 100 = 2$ (baza 10).

Proprietăți:

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a x^n = n \log_a x$

Ecuații tip BAC

1. Exponențială. $2^{x+1} = 16 \Rightarrow 2^{x+1} = 2^4 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$ .

2. Logaritmică. $\log_3(2x - 1) = 2 \Rightarrow 2x - 1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 5$ . Verificare condiție: $2x - 1 > 0$ ✓.

3. Cu proprietăți. $\lg x + \lg 4 = \lg 20 \Rightarrow \lg 4x = \lg 20 \Rightarrow x = 5$ .

Atenție

La ecuațiile logaritmice, pune ÎNTOTDEAUNA condițiile de existență (argumentul strict pozitiv) ÎNAINTE de rezolvare și verifică soluțiile la final.

Reține

$\log_a b = c \iff a^c = b$ , cu $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ . Exponențiala $a^x$ este mereu pozitivă, strict crescătoare pentru $a > 1$ și strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$ . La ecuațiile logaritmice: întâi condițiile de existență, apoi rezolvarea, apoi verificarea soluțiilor.

Greșeli frecvente

$\log_a(x + y) \ne \log_a x + \log_a y$ : proprietatea e pentru PRODUS, nu sumă.
Exponențiala nu se anulează niciodată: $a^x = 0$ nu are soluții.
Baza logaritmului: pozitivă și diferită de 1.

Instrumente pentru lecția asta

Grafic de funcții

Desenează una sau mai multe funcții, mută planul și apropie ca să vezi comportamentul lor. Perfect pentru monotonie, semn și intersecții.

Se încarcă instrumentul…

Bifează când ai terminat, ca s-o vezi citită pe toate dispozitivele.

Testează-te pe capitolul 3

Lecția în clipuri

Clipuri scurte, cu voce și subtitrări.