Tabelul valorilor remarcabile
t t t 0 0 0 π 6 \dfrac{\pi}{6} 6 π π 4 \dfrac{\pi}{4} 4 π π 3 \dfrac{\pi}{3} 3 π π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π π \pi π 3 π 2 \dfrac{3\pi}{2} 2 3 π sin t \sin t sin t 0 0 0 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 1 1 1 0 0 0 − 1 -1 − 1 cos t \cos t cos t 1 1 1 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 0 0 0 − 1 -1 − 1 0 0 0
Truc de memorare pentru sinus pe 0 , π 6 , π 4 , π 3 , π 2 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} 0 , 6 π , 4 π , 3 π , 2 π 0 2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 \dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2} 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4
Proprietăți fundamentale
Mărginire: − 1 ≤ sin t ≤ 1 -1 \le \sin t \le 1 − 1 ≤ sin t ≤ 1 − 1 ≤ cos t ≤ 1 -1 \le \cos t \le 1 − 1 ≤ cos t ≤ 1 t ∈ R t \in \mathbb{R} t ∈ R
Periodicitate: ambele funcții au perioada principală 2 π 2\pi 2 π sin ( t + 2 π ) = sin t , cos ( t + 2 π ) = cos t . \sin(t + 2\pi) = \sin t, \qquad \cos(t + 2\pi) = \cos t. sin ( t + 2 π ) = sin t , cos ( t + 2 π ) = cos t .
Paritate: sinusul este funcție impară, cosinusul este funcție pară:
sin ( − t ) = − sin t , cos ( − t ) = cos t . \sin(-t) = -\sin t, \qquad \cos(-t) = \cos t. sin ( − t ) = − sin t , cos ( − t ) = cos t .
Identitatea fundamentală:
sin 2 t + cos 2 t = 1 \sin^2 t + \cos^2 t = 1 sin 2 t + cos 2 t = 1
Exemplu rezolvat
Știind că sin t = 3 5 \sin t = \dfrac{3}{5} sin t = 5 3 t ∈ ( π 2 , π ) t \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) t ∈ ( 2 π , π ) cos t \cos t cos t
Din identitatea fundamentală: cos 2 t = 1 − 9 25 = 16 25 \cos^2 t = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} cos 2 t = 1 − 25 9 = 25 16 cos t = ± 4 5 \cos t = \pm\dfrac{4}{5} cos t = ± 5 4
Unghiul este în cadranul II, unde cosinusul este negativ, deci cos t = − 4 5 \cos t = -\dfrac{4}{5} cos t = − 5 4
Greșeli frecvente
După ce extragi radicalul din cos 2 t \cos^2 t cos 2 t
sin 2 t \sin^2 t sin 2 t ( sin t ) 2 (\sin t)^2 ( sin t ) 2 sin ( t 2 ) \sin(t^2) sin ( t 2 ) Periodicitatea permite să aduci orice unghi în [ 0 , 2 π ) [0, 2\pi) [ 0 , 2 π ) 2 π 2\pi 2 π sin 9 π 4 = sin π 4 = 2 2 \sin \dfrac{9\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} sin 4 9 π = sin 4 π = 2 2