Funcția de gradul al II-lea

Definiție și grafic

Funcția de gradul al II-lea este $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax^2 + bx + c$, cu $a \ne 0$. Graficul este o parabolă: cu brațele în sus dacă $a > 0$, în jos dacă $a < 0$.

Vârful parabolei

$V\left(-\dfrac{b}{2a}, \; -\dfrac{\Delta}{4a}\right), \qquad \Delta = b^2 - 4ac$

Pentru $a > 0$, vârful dă MINIMUL funcției; pentru $a < 0$, MAXIMUL.

Monotonia

Pentru $a > 0$: descrescătoare pe $\left(-\infty, -\dfrac{b}{2a}\right]$, crescătoare pe $\left[-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)$. Pentru $a < 0$, invers.

Semnul funcției

Depinde de $\Delta$:

1. $\Delta > 0$: două rădăcini $x_1 < x_2$; semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar între ele.
2. $\Delta = 0$: o rădăcină dublă; semnul lui $a$ peste tot, cu $0$ în rădăcină.
3. $\Delta < 0$: fără rădăcini reale; semnul lui $a$ peste tot.

Exemplu rezolvat

Fie $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Determină vârful, rădăcinile și semnul.

$\Delta = 16 - 12 = 4$. Rădăcinile: $x_{1,2} = \dfrac{4 \pm 2}{2}$, deci $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Vârful: $x_V = 2$, $y_V = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$, deci $V(2, -1)$, punct de minim.

Semn: pozitivă pe $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$, negativă pe $(1, 3)$, zero în $1$ și $3$.

Greșeli frecvente

1. $x_V = -\dfrac{b}{2a}$ are minus: pentru $b = -4$, $x_V = +2$.
2. Valoarea extremă este $f(x_V)$; calculeaz-o direct prin înlocuire ca să eviți greșelile de semn din $-\Delta/4a$.
3. La semn, "între rădăcini semn contrar lui $a$" doar când $\Delta > 0$.

Explorează parabola de mai jos: schimbă coeficienții și urmărește vârful și rădăcinile.