Ideea compunerii

Uneori aplicăm două funcții una după alta: rezultatul primei devine argumentul celei de-a doua. Această înlănțuire se numește compunerea funcțiilor.

Definiție

Fie funcțiile $f : A \to B$ și $g : B \to C$ . Compusa lui $g$ cu $f$ este funcția:

$g \circ f : A \to C, \qquad (g \circ f)(x) = g(f(x))$

Se citește " $g$ compus cu $f$ " și se aplică DE LA DREAPTA LA STÂNGA: întâi $f$ , apoi $g$ .

Ordinea contează

În general:

$g \circ f \ne f \circ g$

Exemplu: pentru $f(x) = x + 3$ și $g(x) = x^2$ :

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x + 3)^2, \qquad (f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^2 + 3$

Verificare în $x = 2$ : $(g \circ f)(2) = 25$ , dar $(f \circ g)(2) = 7$ . Compunerea NU este comutativă.

Proprietăți

Asociativitate: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ , deci putem scrie $h \circ g \circ f$ fără paranteze.
Element neutru: funcția identică $1_A(x) = x$ satisface $f \circ 1_A = f$ și $1_B \circ f = f$ .

Exemplu rezolvat

Fie $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x^2 + 1$ . Calculează $(g \circ f)(x)$ și $(f \circ g)(x)$ .

$(g \circ f)(x) = g(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2$

$(f \circ g)(x) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 1$

Verificare în $x = 1$ : $(g \circ f)(1) = 1 + 1 = 2$ și direct $g(f(1)) = g(1) = 2$ . Corect.

Greșeli frecvente

$(g \circ f)(x)$ înseamnă $g(f(x))$ : prima funcție aplicată este cea din DREAPTA.
La calcul, înlocuiește TOT argumentul: $g(2x-1)$ cere $(2x-1)^2$ , cu paranteze, nu $2x - 1^2$ .
Nu confunda compunerea $g \circ f$ cu produsul $g \cdot f$ : sunt operații complet diferite.

Explorează mai jos: alege $f$ și $g$ , schimbă valoarea lui $x$ și apasă "inversează ordinea" ca să vezi de ce compunerea nu este comutativă.

Compunerea funcțiilor