Capitolul 2 · Lecția 2.4 din 5

Compunerea funcțiilor

Definiția compusei g∘f, de ce ordinea contează, asociativitatea și funcția identică, cu explorator interactiv.

Capitolul 2: Funcții, partea IConținut verificat

Pe scurt pentru BAC · 4 idei

Pentru $f : A \to B$ și $g : B \to C$ , compusa este $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : se aplică întâi $f$ , apoi $g$ .
Compunerea are sens doar dacă imaginea lui $f$ este inclusă în domeniul de definiție al lui $g$ .
În general $g \circ f \ne f \circ g$ : pentru $f(x) = x + 3$ și $g(x) = x^2$ obții $(x + 3)^2$ , respectiv $x^2 + 3$ .
Pentru $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x^2 + 1$ obții $(g \circ f)(x) = 4x^2 - 4x + 2$ și $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1$ .

Pe această pagină6 secțiuni

Ideea compunerii

Uneori aplicăm două funcții una după alta: rezultatul primei devine argumentul celei de-a doua. Această înlănțuire se numește compunerea funcțiilor.

Definiție

Fie funcțiile $f : A \to B$ și $g : B \to C$ . Compusa lui $g$ cu $f$ este funcția:

$g \circ f : A \to C, \qquad (g \circ f)(x) = g(f(x))$

Se citește " $g$ compus cu $f$ " și se aplică DE LA DREAPTA LA STÂNGA: întâi $f$ , apoi $g$ .

Atenție

Condiția esențială: valorile lui $f$ trebuie să poată intra în $g$ . Riguros, imaginea lui $f$ trebuie inclusă în domeniul de definiție al lui $g$ .

Ordinea contează

În general:

$g \circ f \ne f \circ g$

Exemplu: pentru $f(x) = x + 3$ și $g(x) = x^2$ :

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x + 3)^2, \qquad (f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^2 + 3$

Verificare în $x = 2$ : $(g \circ f)(2) = 25$ , dar $(f \circ g)(2) = 7$ . Compunerea NU este comutativă.

Proprietăți

Asociativitate: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ , deci putem scrie $h \circ g \circ f$ fără paranteze.
Element neutru: funcția identică $1_A(x) = x$ satisface $f \circ 1_A = f$ și $1_B \circ f = f$ .

Reține

Compunerea este asociativă și are element neutru (funcția identică), dar nu este comutativă. Alege funcția identică în exploratorul de mai jos și observă că rezultatul rămâne neschimbat.

Exemplu rezolvat

Fie $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x^2 + 1$ . Calculează $(g \circ f)(x)$ și $(f \circ g)(x)$ .

$(g \circ f)(x) = g(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2$

$(f \circ g)(x) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 1$

Verificare în $x = 1$ : $(g \circ f)(1) = 1 + 1 = 2$ și direct $g(f(1)) = g(1) = 2$ . Corect.

Greșeli frecvente

$(g \circ f)(x)$ înseamnă $g(f(x))$ : prima funcție aplicată este cea din DREAPTA.
La calcul, înlocuiește TOT argumentul: $g(2x-1)$ cere $(2x-1)^2$ , cu paranteze, nu $2x - 1^2$ .
Nu confunda compunerea $g \circ f$ cu produsul $g \cdot f$ : sunt operații complet diferite.

Explorează mai jos: alege $f$ și $g$ , schimbă valoarea lui $x$ și apasă "inversează ordinea" ca să vezi de ce compunerea nu este comutativă.

Instrumente pentru lecția asta