Propoziție, predicat, cuantificatori

Propoziție

O propoziție e un enunț care e ori adevărat, ori fals, dar nu ambele.

Ultimul caz e important: nu e propoziție, ci predicat.

Predicat

Un predicat e un enunț care conține una sau mai multe variabile și devine propoziție când variabilele primesc valori.

Notăm $p(x): x + 1 = 3$. Atunci:

• $p(2)$ e adevărată;
• $p(5)$ e falsă.

Predicatul în sine nu are valoare de adevăr. O capătă doar după ce fixezi variabila sau o cuantifici.

Cuantificatori

Exemple:

• $\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \ge 0$ (adevărată);
• $\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 = -1$ (falsă);
• $\exists x \in \mathbb{C}, \ x^2 = -1$ (adevărată).

Ultimele două arată că valoarea de adevăr depinde de mulțimea pe care cuantifici.

Negarea cuantificatorilor

Regula cerută la examen:

$\overline{\forall x, \ p(x)} \equiv \exists x, \ \overline{p(x)}$ $\overline{\exists x, \ p(x)} \equiv \forall x, \ \overline{p(x)}$

În cuvinte: negarea lui „toți" nu e „niciunul", ci „există cel puțin unul care nu".

Exemplu: negarea propoziției „toți elevii au luat nota 10" nu e „niciun elev nu a luat 10", ci „există cel puțin un elev care nu a luat 10".

E greșeala cea mai frecventă din capitol.

Operatori logici

Implicația e cea care surprinde: dacă ipoteza e falsă, implicația e adevărată indiferent de concluzie. Din fals urmează orice.

Greșeli frecvente

1. Se neagă „toți" prin „niciunul".
2. Se tratează un predicat ca pe o propoziție, deși nu are valoare de adevăr până nu fixezi variabila.
3. Se uită că implicația cu ipoteză falsă e adevărată.
4. Se schimbă ordinea cuantificatorilor. $\forall x \exists y$ nu înseamnă același lucru cu $\exists y \forall x$.