De la grup la inel

Un grup $(G, *)$ cere patru condiții: parte stabilă, asociativitate, element neutru, element simetrizabil pentru orice element. Dacă în plus operația e comutativă, grupul e abelian.

Un inel are două operații, notate de obicei $+$ și $\cdot$ .

$(A, +, \cdot)$ e inel dacă:

$(A, +)$ e grup abelian;
$\cdot$ e asociativă;
$\cdot$ e distributivă față de $+$ .

Dacă înmulțirea are element neutru, inelul e unitar. Dacă e și comutativă, inelul e comutativ.

Corp

Un corp e un inel unitar în care orice element nenul e inversabil.

Cu alte cuvinte: la corp poți împărți cu orice, în afară de zero.

Structură	Ce se cere
Grup	o operație, cu cele patru condiții
Inel	două operații, grup abelian la prima, distributivitate
Corp	inel unitar în care orice element nenul are invers

Exemple

Mulțime	Structura
$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$	inel comutativ unitar, nu corp (2 nu are invers întreg)
$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$	corp comutativ
$(\mathbb{R}, +, \cdot)$	corp comutativ
$(\mathbb{C}, +, \cdot)$	corp comutativ
$(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$	inel; e corp exact când $n$ e prim
matrice pătratice	inel unitar necomutativ

Exemplul cu $\mathbb{Z}$ e cel mai util: arată limpede că un inel nu e automat corp.

Cazul $\mathbb{Z}_n$ e cerut frecvent. În $\mathbb{Z}_6$ , elementul $2$ nu are invers, pentru că $6$ nu e prim. În $\mathbb{Z}_5$ toate elementele nenule au invers, deci e corp.

Divizori ai lui zero

Într-un inel pot exista elemente nenule al căror produs e zero. În $\mathbb{Z}_6$ : $2 \cdot 3 = 6 = \hat{0}$ , deși nici $2$ , nici $3$ nu sunt zero.

Un inel fără divizori ai lui zero, comutativ și unitar, se numește domeniu de integritate. Orice corp e domeniu de integritate.

Morfisme

Un morfism de inele $f : A \to B$ păstrează ambele operații:

$f(x + y) = f(x) + f(y), \qquad f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$

La inele unitare se cere în plus $f(1_A) = 1_B$ .

Pentru grupuri, condiția e una singură: $f(x * y) = f(x) \circ f(y)$ .

Un morfism bijectiv se numește izomorfism. Două structuri izomorfe se comportă identic: tot ce demonstrezi pentru una e adevărat și pentru cealaltă, doar cu alte nume.

Proprietăți ale morfismelor de grupuri

$f(e_G) = e_H$ , adică neutrul merge în neutru;
$f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ ;
imaginea unui subgrup e subgrup.

Greșeli frecvente

Se spune că orice inel e corp. $\mathbb{Z}$ e contraexemplul de reținut.
Se uită că $\mathbb{Z}_n$ e corp doar când $n$ e prim.
Se verifică doar o operație la morfismul de inele. Trebuie verificate amândouă.
Se confundă morfismul cu izomorfismul. Izomorfismul e morfism bijectiv.

Inele, corpuri, morfisme