Conicele: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă

Ce sunt conicele

Curbele obținute prin secționarea unui con cu un plan: cercul, elipsa, parabola și hiperbola. De aici numele.

Cercul

Mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix, centrul.

Ecuația cercului cu centrul în $C(a, b)$ și raza $r$:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Cu centrul în origine: $x^2 + y^2 = r^2$.

Forma generală: $x^2 + y^2 + mx + ny + p = 0$. Centrul și raza se obțin prin formare de pătrate perfecte.

Elipsa

Mulțimea punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe (focarele) e constantă.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

• $a$ = semiaxa mare, $b$ = semiaxa mică;
• distanța focală: $c^2 = a^2 - b^2$;
• dacă $a = b$, elipsa devine cerc.

Hiperbola

Mulțimea punctelor pentru care diferența distanțelor la focare e constantă în valoare absolută.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

• are două ramuri;
• $c^2 = a^2 + b^2$, atenție la semnul plus, spre deosebire de elipsă;
• asimptotele: $y = \pm \dfrac{b}{a} x$.

Semnul dintre fracții e singurul lucru care deosebește ecuația elipsei de cea a hiperbolei. Merită verificat de două ori.

Parabola

Mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix (focarul) și de o dreaptă fixă (directoarea).

$y^2 = 2px$

• focarul: $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$;
• directoarea: $x = -\dfrac{p}{2}$.

Forma întâlnită la funcții, $y = ax^2 + bx + c$, e tot o parabolă, doar cu axa verticală.

Tabel comparativ

Greșeli frecvente

1. Se confundă semnul dintre fracții, deci elipsa cu hiperbola.
2. Se inversează relațiile focale.
3. Se uită că cercul e caz particular de elipsă, cu $a = b$.
4. La forma generală a cercului se sare peste formarea pătratelor perfecte.