Razele cercurilor înscris și circumscris

Notații

În triunghiul $ABC$: laturile $a$, $b$, $c$, aria $S$, semiperimetrul $p = \dfrac{a+b+c}{2}$.

Raza cercului circumscris

Cercul care trece prin toate cele trei vârfuri. Centrul lui e la intersecția mediatoarelor.

$R = \frac{abc}{4S}$

Din teorema sinusurilor rezultă și:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

A doua formă e adesea mai rapidă: dacă știi o latură și unghiul opus ei, ai imediat $R$.

Raza cercului înscris

Cercul tangent celor trei laturi. Centrul lui e la intersecția bisectoarelor.

$r = \frac{S}{p}$

Aria, în funcție de ce ai

Ultimele două nu sunt formule noi, ci relațiile de mai sus rescrise. De aceea merită ținute minte împreună.

Exemplu

Triunghiul cu laturile 3, 4, 5. E dreptunghic, pentru că $9 + 16 = 25$.

• $p = \dfrac{3+4+5}{2} = 6$;
• $S = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$;
• $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{6}{6} = 1$;
• $R = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5$.

Verificare: la triunghiul dreptunghic, $R$ e jumătate din ipotenuză, adică $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Coincide.

Verificare cu Heron: $\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$. Coincide.

Teorema cosinusului

Când ai două laturi și unghiul dintre ele, sau toate trei laturile:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Pentru $A = 90°$, cosinusul e zero și rămâne teorema lui Pitagora. E un caz particular, nu o formulă separată.

Greșeli frecvente

1. Se confundă $R$ cu $r$. Circumscris trece prin vârfuri, înscris e tangent laturilor.
2. Se uită că la triunghiul dreptunghic $R$ e jumătate din ipotenuză.
3. La Heron se folosește perimetrul în loc de semiperimetru.
4. Se aplică teorema sinusurilor cu un unghi care nu e opus laturii folosite.