Convexitate, concavitate, puncte de inflexiune

Ce spune derivata a doua

Derivata întâi arată dacă funcția urcă sau coboară. Derivata a doua arată cum se curbează graficul.

Mnemotehnică: unde $f''$ e pozitivă, graficul ține apa.

Puncte de inflexiune

Un punct de inflexiune e punctul în care graficul își schimbă tipul de curbură, din convex în concav sau invers.

Condiții:

1. $f''(x_0) = 0$ sau $f''$ nu există în $x_0$;
2. $f''$ își schimbă semnul în jurul lui $x_0$.

A doua condiție e esențială. Faptul că $f''(x_0) = 0$ nu ajunge.

Contraexemplul de reținut: pentru $f(x) = x^4$ avem $f''(x) = 12x^2$, deci $f''(0) = 0$. Dar $f''$ e pozitivă și în stânga, și în dreapta lui 0, deci semnul nu se schimbă. Funcția e convexă peste tot, iar 0 nu e punct de inflexiune.

Exemple

$f(x) = x^2$: $f'' = 2 > 0$ peste tot, deci funcția e convexă pe tot domeniul. Nu are puncte de inflexiune.

$f(x) = x^3$: $f'' = 6x$, care e negativă pentru $x < 0$ și pozitivă pentru $x > 0$. Semnul se schimbă, deci $x = 0$ e punct de inflexiune. Graficul e concav la stânga originii și convex la dreapta.

$f(x) = \sin x$: $f'' = -\sin x$, deci punctele de inflexiune sunt în $k\pi$.

Derivata a doua și extremele

Dacă $f'(x_0) = 0$, semnul lui $f''(x_0)$ spune ce fel de punct e:

E de înțeles: dacă în punctul critic graficul e convex, punctul e fundul cupei, deci minim.

Tabelul de variație complet

Pentru studiul unei funcții se cercetează:

1. domeniul de definiție;
2. limitele la capete și asimptotele;
3. $f'$, pentru monotonie și extreme;
4. $f''$, pentru convexitate și inflexiuni;
5. tabelul de variație și graficul.

Greșeli frecvente

1. Se declară punct de inflexiune oriunde $f'' = 0$, fără verificarea schimbării de semn.
2. Se confundă convex cu concav.
3. Se trage concluzia despre extreme când și $f'$, și $f''$ se anulează.
4. Se uită punctele în care $f''$ nu există, deși pot fi și ele inflexiuni.