Arii și volume cu ajutorul integralei

Aria subgraficului

Dacă $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ e continuă și pozitivă, aria dintre grafic și axa $Ox$ este:

$\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx$

Exemplu: aria subgraficului lui $f(x) = x^2$ pe $[0,2]$:

$\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\bigg|_0^2 = \frac{8}{3}$

Când funcția e negativă

Integrala unei funcții negative dă un număr negativ, dar aria e mereu pozitivă. În acest caz:

$\mathcal{A} = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| = \int_a^b |f(x)|\,dx$

Dacă funcția schimbă semnul pe intervalul dat, integrala se rupe în bucăți, la rădăcini, și se ia modulul pe fiecare.

Pentru $f(x) = x$ pe $[-1,1]$: integrala e 0, pentru că bucățile se anulează, dar aria e $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.

Aria dintre două curbe

Dacă $f(x) \ge g(x)$ pe $[a,b]$:

$\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$

Se scade mereu funcția de jos din cea de sus. Limitele $a$ și $b$ sunt de regulă abscisele punctelor de intersecție, obținute rezolvând $f(x) = g(x)$.

Exemplu: aria dintre $f(x) = x$ și $g(x) = x^2$. Intersecțiile: $x = x^2$, deci $x \in \{0, 1\}$. Pe $[0,1]$, $x \ge x^2$, deci:

$\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\bigg|_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Volumul corpului de rotație

Rotind subgraficul lui $f$ în jurul axei $Ox$ se obține un corp cu volumul:

$V = \pi \int_a^b f^2(x)\,dx$

Atenție: funcția se ridică la pătrat, iar $\pi$ nu se uită. Sunt cele două greșeli cele mai frecvente.

Exemplu: $f(x) = x$ pe $[0, h]$ generează un con:

$V = \pi \int_0^h x^2\,dx = \pi \cdot \frac{h^3}{3}$

Verificare cu formula cunoscută a conului, $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$: aici raza la capăt e $R = h$, deci $\dfrac{\pi h^2 \cdot h}{3} = \dfrac{\pi h^3}{3}$. Coincide.

Verificare cu sfera

Sfera de rază $R$ se obține rotind $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ pe $[-R, R]$:

$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx = \pi \left(R^2 x - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-R}^{R} = \pi \cdot \frac{4R^3}{3}$

Adică exact $\dfrac{4\pi R^3}{3}$, formula cunoscută. Faptul că integrala reproduce formulele din geometrie e o bună verificare a metodei.

Greșeli frecvente

1. Se calculează aria fără modul când funcția e negativă, și rezultă o arie negativă.
2. Se uită să se ridice funcția la pătrat la volum.
3. Se uită $\pi$.
4. La aria dintre curbe se scade invers, de unde rezultat negativ. Se scade funcția de jos din cea de sus.