# Valorile remarcabile pentru sinus și cosinus

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/valorile-remarcabile-sin-cos
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/valorile-remarcabile-sin-cos.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Trigonometrie](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie)
Actualizat: 2026-11-01

Tabelul valorilor pentru unghiurile uzuale și proprietățile de bază: periodicitate, paritate, mărginire.

## Pe scurt pentru BAC

- Sinusul pe $0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$ are valorile $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dots, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$, iar cosinusul le are în ordine inversă.
- Identitatea fundamentală $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ leagă cele două funcții: din $\sin t = \dfrac{3}{5}$ obții $\cos^2 t = \dfrac{16}{25}$.
- Ambele funcții au perioada principală $2\pi$ și sunt mărginite între $-1$ și $1$.
- Sinusul este funcție impară, $\sin(-t) = -\sin t$, iar cosinusul este pară, $\cos(-t) = \cos t$.

## Tabelul valorilor remarcabile

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin t$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
| $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ |

Truc de memorare pentru sinus pe $0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$: scrie $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Cosinusul are aceleași valori în ordine inversă.

## Proprietăți fundamentale

**Mărginire:** $-1 \le \sin t \le 1$ și $-1 \le \cos t \le 1$ pentru orice $t \in \mathbb{R}$.

**Periodicitate:** ambele funcții au perioada principală $2\pi$:
$$\sin(t + 2\pi) = \sin t, \qquad \cos(t + 2\pi) = \cos t.$$

**Paritate:** sinusul este funcție impară, cosinusul este funcție pară:
$$\sin(-t) = -\sin t, \qquad \cos(-t) = \cos t.$$

**Identitatea fundamentală:**
$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

## Exemplu rezolvat

Știind că $\sin t = \dfrac{3}{5}$ și $t \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$, calculează $\cos t$.

Din identitatea fundamentală: $\cos^2 t = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, deci $\cos t = \pm\dfrac{4}{5}$.

Unghiul este în cadranul II, unde cosinusul este negativ, deci $\cos t = -\dfrac{4}{5}$.

## Greșeli frecvente

1. După ce extragi radicalul din $\cos^2 t$, NU uita de semn: îl decide cadranul, nu calculul.
2. $\sin^2 t$ înseamnă $(\sin t)^2$, nu $\sin(t^2)$.
3. Periodicitatea permite să aduci orice unghi în $[0, 2\pi)$ scăzând multipli de $2\pi$: $\sin \dfrac{9\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.